Fluxo Elétrico

Superfície Plana, Campo Uniforme. Começamos com uma superfície plana, de área A, em uma região onde existe um campo elétrico uniforme .

A Fig. 23-4a mostra um dos vetores de campo elétrico atravessando um pequeno quadrado de área ΔA (em que Δ significa “pequeno”). Na verdade,

apenas a componente x (de módulo E = E cos θ na Fig. 23-4b) atravessa a x superfície. A componente y é paralela à superfície e não aparece na lei de Gauss. A quantidade de campo elétrico que atravessa a superfície é chamada de fluxo elétrico ΔΦ e é dada pelo produto do campo que atravessa a superfície pela área envolvida:

 

ΔΦ = (E cos θ) ΔA.

 

Existe outro modo de escrever o lado direito da equação anterior para que apenas a componente de que atravessa a superfície seja considerada. Definimos um vetor área ∆ que é perpendicular ao quadrado e tem um

módulo igual à área do quadrado (Fig. 23-4c). Nesse caso, podemos escrever

Figura 23-4 (a) Um vetor de campo elétrico atravessa um pequeno quadrado de uma superfície plana. (b) Apenas a componente x atravessa o quadrado; a componente y é paralela ao quadrado. (c) O vetor área do quadrado é perpendicular ao quadrado e tem um módulo igual à área do quadrado.

 

e o produto escalar nos fornece automaticamente a componente de que é paralela a ∆ e, portanto, atravessa o quadrado.

Para determinar o fluxo total Φ que atravessa a superfície da Fig. 23-4, somamos o fluxo que atravessa todos os pequenos quadrados da superfície:

 

Entretanto, como não queremos ter o trabalho de somar centenas (ou mais) de valores do fluxo, transformamos a soma em uma integral reduzindo os pequenos quadrados de área ΔA em elementos de área dA. Nesse caso, o fluxo total passa a ser dado por

 

Agora podemos calcular o fluxo total integrando o produto escalar para toda a superfície.

Produto Escalar. Podemos calcular o produto escalar que aparece no

integrando da Eq. 23-2 escrevendo os dois vetores na notação dos vetores

unitários. Na Fig. 23-4, por exemplo, d = dAî e poderia ser, digamos, (4î + 4ĵ ) N/C. Também podemos calcular o produto escalar na notação módulo-ângulo, na qual o resultado seria E cos θ dA. Se o campo elétrico é uniforme e a superfície é plana, o produto E cos θ é constante e pode ser colocado do lado de fora do sinal de integração. A integral restante, ∫dA, é apenas uma receita para somar todos os quadrados elementares para obter a área total, mas já sabemos que a área total é A. Assim, o fluxo total nessa situação simples é

Superfície Fechada. Para relacionar o fluxo à carga usando a lei de Gauss, precisamos de uma superfície fechada. Vamos usar a superfície

fechada da Fig. 23-5, que está submetida a um campo elétrico não uniforme. (Não se preocupe. As superfícies serão mais simples nos deveres de casa.) Como antes, vamos começar pelo fluxo através de pequenos quadrados. Agora, porém, estamos interessados, não só em saber se as componentes do campo elétrico atravessam a superfície, mas também se

elas atravessam a superfície de dentro para fora (como na Fig. 23-1), ou de

fora para dentro (como na Fig. 23-3).

Sinal do Fluxo. Para levar em conta o sentido com o qual o campo elétrico atravessa a superfície, usamos, como antes, um vetor área, ∆ , mas agora escolhemos como positivo o sentido para fora (da superfície fechada). Assim, se o vetor campo elétrico aponta para fora, o campo elétrico e o vetor área apontam no mesmo sentido, o ângulo entre os vetores é θ = 0 e cos θ = 1. Isso significa que o produto escalar . ∆ é positivo e, portanto, o fluxo é positivo. Se o vetor campo aponta para dentro, o campo elétrico e o vetor área apontam em sentidos opostos, o ângulo entre os vetores é θ = 180o e cos θ = –1. Nesse caso, o produto escalar . Δ é negativo e o fluxo é negativo. Se o vetor campo elétrico é paralelo à superfície, o campo elétrico é perpendicular ao vetor área, o ângulo entre os vetores é θ = 90o e cos θ = 0. Nesse caso, o produto escalar . Δ é nulo e o

fluxo é zero. A Fig. 23-5 mostra exemplos das três situações. A conclusão é a seguinte:

Figura 23-5 Uma superfície gaussiana de forma arbitrária em uma região onde existe um campo elétrico. A superfície está dividida em pequenos quadrados de área ΔA. Os vetores campo elétrico e área Δ são mostrados para três quadrados representativos, 1, 2 e 3.

 

Se o sentido do campo elétrico é para fora da superfície, o fluxo é

positivo; se o sentido do campo elétrico é para dentro da superfície, o

fluxo é negativo; se o campo elétrico é paralelo à superfície, o fluxo é

zero.

Fluxo Total. Em princípio, para determinar o fluxo total através da

superfície da Fig. 23-5, poderíamos calcular o fluxo através de pequenos quadrados e somar os resultados (levando em conta os sinais algébricos). Entretanto, não há necessidade de executar esse trabalho exaustivo. Em vez disso, podemos reduzir o tamanho dos pequenos quadrados até se tornarem áreas elementares d e calcular o resultado por integração:

 

O círculo no sinal de integral indica que a integral deve se estender a toda a superfície fechada, já que estamos calculando o fluxo total através da superfície (o fluxo não precisa ser todo para fora ou todo para dentro da

superfície; na Fig. 23-5, por exemplo, existem partes da superfície em que o fluxo é para dentro e outras partes em que o fluxo é para fora). Não se esqueça de que estamos interessados no fluxo total para podermos aplicar a lei de Gauss, que relaciona o fluxo total à carga envolvida pela superfície. (A lei será nossa próxima atração.) Note que o fluxo é uma grandeza escalar (é verdade que trabalhamos com vetores de campo elétrico, mas o fluxo é a quantidade de campo elétrico que atravessa a superfície, e não o campo em si). A unidade de fluxo do SI é o newton-metro quadrado por coulomb (N·m2/C).

 

Teste 1

A figura mostra um cubo gaussiano, cujas faces têm área A, imerso em

um campo elétrico uniforme orientado no sentido positivo do eixo z.

Determine, em termos de E e A, o fluxo (a) através da face frontal do

cubo (a face situada no plano xy), (b) através da face traseira, (c)

através da face superior e (d) através do cubo como um todo.

Exemplo 23.01 Fluxo de um campo uniforme

através de uma superfície cilíndrica

A Fig. 23-6 mostra uma superfície gaussiana na forma de um cilindro

oco, de raio R, cujo eixo é paralelo a um campo elétrico uniforme.

Qual é o fluxo Φ do campo elétrico através do cilindro?

 

IDEIAS-CHAVE

De acordo com a Eq. 23-4, podemos calcular o fluxo Φ integrando o

produto escalar . d para toda a superfície do cilindro. Entretanto, a

superfície do cilindro não pode ser descrita por meio de uma única

equação. A forma de contornar esse problema é separar a superfície

em partes que possam ser integradas com facilidade.

Cálculos: Podemos realizar a integração escrevendo o fluxo como a

soma de três integrais: uma para a base esquerda do cilindro, a, outra

para a superfície lateral do cilindro, b, e outra para a base direita do

cilindro, c. Nesse caso, de acordo com a Eq. 23-4,

Para todos os pontos da base a, o ângulo θ entre e d é 180o e o

módulo E do campo é o mesmo. Assim,

 

em que ∫A é igual à área da base, A (= πr2). Analogamente, na base c,

em que θ = 0 para todos os pontos,

 

Finalmente, para a superfície lateral b do cilindro, em que θ = 90o para

todos os pontos,

 

Substituindo os três valores na Eq. 23-5, obtemos

 

Este resultado já era esperado; como todas as linhas de campo que

representam o campo elétrico atravessam a superfície gaussiana,

entrando pela base esquerda e saindo pela base direita, o fluxo total

deve ser nulo.

 

Figura 23-6 Uma superfície gaussiana cilíndrica, fechada pelos

planos das bases, imersa em um campo elétrico uniforme. O eixo do

cilindro é paralelo à direção do campo.

 

Exemplo 23.02 Fluxo de um campo elétrico não

uniforme através de um cubo

O cubo gaussiano que aparece na Fig. 23-7a está submetido a um

campo elétrico não uniforme dado por = 3,0xî + 4,0ĵ, com E em

newtons por coulomb e x em metros. Qual é o fluxo elétrico na face

direita, na face esquerda e na face superior do cubo? (As outras faces

serão consideradas no Exemplo 23.04.)

 

IDEIA-CHAVE

Podemos calcular o fluxo Φ através de uma superfície integrando o

produto escalar . d ao longo da superfície.

Face direita: O vetor área é sempre perpendicular à superfície e

aponta para fora. Assim, no caso da face direita do cubo, o vetor d

aponta no sentido positivo do eixo x. Um elemento desse tipo é

mostrado nas Figs. 23-7b e 23-7c, mas o vetor d tem a mesma

direção para todos os elementos de área pertencentes a essa face. Na

notação dos vetores unitários,

 

De acordo com a Eq. 23-4, o fluxo Φ através da face direita do cubo é d

dado por

Figura 23-7 (a) Um cubo gaussiano, com uma aresta no eixo x,

imerso em um campo elétrico não uniforme que depende do valor de x.

(b) A cada elemento de área podemos associar um vetor perpendicular

ao elemento, que aponta para fora do cubo. (c) Face direita: a

componente x do campo atravessa a face e produz um fluxo positivo

(para fora do cubo). A componente y não atravessa a face e não produz

um fluxo. (d) Face esquerda: a componente x do campo produz um

fluxo negativo (para dentro do cubo). (e) Face superior: a componente

y do campo produz um fluxo positivo (para fora do cubo).

 

Deveríamos calcular essa integral para a face direita, mas observamos

que x tem o mesmo valor, 3,0 m, em todos os pontos da face e,

portanto, podemos substituir x por esse valor. Explicando melhor:

Embora x seja uma variável quando percorremos a face direita do cubo

de cima para baixo e da esquerda para a direita, como a face direita do

cubo é perpendicular ao eixo x, todos os pontos da face têm a mesma

coordenada x. (As coordenadas y e z não estão envolvidas na

integração.) Assim, temos

 

A integral ∫dA nos dá simplesmente a área A = 4,0 m2 da face direita;

assim,

 

Face esquerda: O método para calcular o fluxo através da face

esquerda é o mesmo que foi usado para a face direita. Apenas duas

coisas mudam: (1) O vetor área elementar d agora aponta no sentido

negativo do eixo x e, portanto, d = –dAî (Fig. 23-7d). (2) O valor

constante de x agora é 1,0 m. Com essas duas mudanças, verificamos

que o fluxo Φ através da face esquerda é dado por e

 

Face superior: Como o vetor área elementar d agora aponta no

sentido positivo do eixo y, d = dAĵ (Fig. 23-7e). O fluxo Φ através da s

face superior é, portanto,