Aplicações da Lei de Gauss: Simetria Esférica

em que q é a carga da esfera, R é o raio da esfera e r é a distância entre o ponto e o centro da esfera.

Aplicações da Lei de Gauss: Simetria Esférica

Vamos agora usar a lei de Gauss para demonstrar os dois teoremas das cascas que foram apresentados no Módulo 21-1. O primeiro diz o seguinte:

Uma partícula carregada situada do lado de fora de uma casca esférica

com uma distribuição uniforme de carga é atraída ou repelida como se

toda a carga estivesse situada no centro da casca.

A Fig. 23-20 mostra uma casca esférica carregada, de raio R, com uma carga total q e duas superfícies gaussianas concêntricas, S e S . Quando 1 2 usamos o método do Módulo 23-2 e aplicamos a lei de Gauss à superfície S , para a qual r ≥ R, o resultado é o seguinte: 2

Figura 23-20 Vista em seção reta de uma casca esférica fina, uniformemente carregada, com uma carga total q. Duas superfícies gaussianas, S e S , também são mostradas. A superfície S envolve a 1 2 2 casca, e a superfície S envolve apenas a cavidade vazia que existe no interior da casca. 1

Esse campo é igual ao que seria criado por uma carga pontual q localizada no centro da casca. Assim, a força que uma casca de carga q exerce sobre uma partícula carregada situada do lado de fora da casca é a mesma que a força exercida por uma partícula pontual de carga q situada no centro da casca. Fica assim demonstrado o primeiro teorema das cascas.

O segundo teorema das cascas diz o seguinte:

Uma partícula carregada situada no interior de uma casca esférica com

uma distribuição uniforme de carga não é atraída nem repelida pela

casca.

Aplicando a lei de Gauss à superfície S , para a qual r < R, obtemos 1

já que a superfície S não envolve nenhuma carga. Assim, se existe uma 1

partícula carregada no interior da casca, a casca não exerce nenhuma força sobre a partícula. Fica assim demonstrado o segundo teorema das cascas.

Toda distribuição de carga esfericamente simétrica, como a

distribuição de raio R e densidade volumétrica de carga ρ da Fig. 23-21, pode ser substituída por um conjunto de cascas esféricas concêntricas. Para fins de aplicação dos dois teoremas das cascas, a densidade volumétrica de carga ρ deve ter um valor único para cada casca, mas não precisa ser a mesma para todas as cascas. Assim, para a distribuição de carga como um todo, ρ pode variar, mas apenas em função de r, a distância radial a partir do centro de curvatura. Podemos, portanto, caso seja necessário, examinar o efeito da distribuição de carga “camada por camada”.

Na Fig. 23-21a, todas as cargas estão no interior de uma superfície gaussiana com r > R. As cargas produzem um campo elétrico na superfície gaussiana como se houvesse apenas uma carga pontual situada no centro, e

a Eq. 23-15 pode ser aplicada.

A Fig. 23-21b mostra uma superfície gaussiana com r < R. Para determinar o campo elétrico em pontos da superfície gaussiana, consideramos dois conjuntos de cascas carregadas: um conjunto do lado de dentro da superfície gaussiana e outro conjunto do lado de fora. De acordo

com a Eq. 23-16, as cargas do lado de fora da superfície gaussiana não

criam um campo elétrico na superfície gaussiana. De acordo com a Eq. 23-

15, as cargas do lado de dentro da superfície gaussiana criam o mesmo campo que uma carga pontual de mesmo valor situada no centro. Chamando

essa carga de q′, podemos escrever a Eq. 23-15 na forma

Figura 23-21 Os pontos representam uma esfera feita de material isolante com uma distribuição de carga de simetria esférica e raio R, cuja densidade volumétrica de carga ρ é função apenas da distância do centro. Uma superfície gaussiana concêntrica com r > R é mostrada em (a). Uma superfície gaussiana semelhante, com r < R, é mostrada em (b).

Uma vez que a distribuição de carga no interior da esfera de raio R é uniforme, podemos calcular a carga q′ envolvida por uma superfície esférica

de raio r (Fig. 23-21b) usando a seguinte relação:

ou

o que nos dá

Substituindo na Eq. 23-17, obtemos

Teste 4

A figura mostra duas placas de grande extensão, paralelas, isolantes,

com densidades superficiais de carga iguais, uniformes e positivas, e

uma esfera com uma densidade volumétrica de carga uniforme e

positiva. Coloque em ordem decrescente os quatro pontos numerados,

de acordo com o módulo do campo elétrico existente no local.