Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial

Figura 24-17 Uma carga de prova positiva q sofre um deslocamento de uma superfície 0

equipotencial para a superfície vizinha. (A distância entre as superfícies foi exagerada na figura.) O deslocamento faz um ângulo θ com o campo elétrico .

Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial

No Módulo 24-2, vimos que era possível calcular o potencial em um ponto f a partir do conhecimento do valor do campo elétrico ao longo de uma trajetória de um ponto de referência até o ponto f. Neste módulo, vamos discutir o problema inverso, ou seja, o cálculo do campo elétrico a partir do

potencial. Como se pode ver na Fig. 24-5, resolver este problema graficamente é muito fácil: Se conhecemos o potencial V para todos os pontos nas vizinhanças de uma distribuição de cargas, podemos desenhar uma família de superfícies equipotenciais. As linhas de campo elétrico, desenhadas perpendicularmente a essas superfícies, revelam a variação de . O que estamos buscando é um método matemático equivalente ao processo gráfico.

A Fig. 24-17 mostra seções retas de uma família de superfícies equipotenciais muito próximas umas das outras; a diferença de potencial entre superfícies vizinhas é dV. Como sugere a figura, o campo em um ponto P qualquer é perpendicular à superfície equipotencial que passa por P.

Suponha que uma carga de prova positiva q sofra um deslocamento 0 de uma superfície equipotencial para a superfície vizinha. De acordo com a

Eq. 24-6, o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre a carga de prova

durante o deslocamento é −q dV. De acordo com a Eq. 24-16 e a Fig. 24-17, 0

o mesmo trabalho também pode ser escrito como o produto escalar (q ) ∙ 0

ou q E(cos θ)d s. Igualando as duas expressões para o trabalho, obtemos 0

ou

Como E cos θ é a componente de na direção de , a Eq. 24-39 se torna

Escrevemos o campo E com um índice e substituímos o símbolo de

derivada pelo de derivada parcial para ressaltar o fato de que a Eq. 24-40 envolve apenas a variação de V ao longo de certo eixo (no caso, o eixo que chamamos de s) e apenas a componente de ao longo desse eixo.

Traduzindo em palavras, a Eq. 24-40 (que é essencialmente a operação

inversa da Eq. 24-18) afirma o seguinte:

A componente de em qualquer direção do espaço é o negativo da

taxa de variação com a distância do potencial elétrico nessa direção.

Se tomamos o eixo s como, sucessivamente, os eixos x, y e z, verificamos que as componentes de em qualquer ponto do espaço são dadas por

Assim, se conhecemos V para todos os pontos nas vizinhanças de uma distribuição de cargas, ou seja, se conhecemos a função V(x, y, z), podemos obter as componentes de , e, portanto, o próprio , calculando o valor de três derivadas parciais.

No caso da situação simples em que o campo elétrico é uniforme, a

Eq. 24-40 se torna

em que s é a direção perpendicular às superfícies equipotenciais. A componente do campo elétrico é sempre nula na direção paralela a uma superfície equipotencial.

Teste 6

A figura mostra três pares de placas paralelas separadas pela mesma

distância e o potencial elétrico de cada placa. O campo elétrico entre as

placas é uniforme e perpendicular às placas. (a) Coloque os pares em

ordem decrescente, de acordo com o módulo do campo elétrico entre

as placas. (b) Para que par de placas o campo elétrico aponta para a

direita? (c) Se um elétron é liberado a partir do repouso a meio

caminho entre as duas placas do terceiro par, o elétron permanece no

mesmo lugar, começa a se mover para a direita com velocidade

constante, começa a se mover para a esquerda com velocidade

constante, é acelerado para a direita, ou é acelerado para a esquerda?

Exemplo 24.05 Cálculo do campo a partir do

potencial