Circuitos RC

 

• Durante a descarga do capacitor, a corrente no circuito diminui de acordo com a equação

 

Figura 27-15 Quando a chave S é colocada na posição a, o capacitor é carregado através do resistor. Mais tarde, quando a chave é colocada na posição b, o capacitor é descarregado através do resistor.

 

Circuitos RC

Nos módulos anteriores, lidamos apenas com circuitos nos quais as correntes não variavam com o tempo. Vamos agora iniciar uma discussão de correntes que variam com o tempo.

 

Carga de um Capacitor

O capacitor de capacitância C da Fig. 27-15 está inicialmente descarregado. Para carregá-lo, podemos colocar a chave S na posição a. Isso completa um circuito RC série formado por um capacitor, uma fonte ideal de força eletromotriz e uma resistência R.

Como vimos no Módulo 25-1, no momento em que o circuito é completado, cargas começam a se

mover (surge uma corrente) no circuito. Essa corrente acumula uma carga q cada vez maior nas placas do capacitor e estabelece uma diferença de potencial V (= q/C) cada vez maior entre as placas do C capacitor. Quando a diferença de potencial é igual à diferença de potencial entre os terminais da fonte

(que é igual, por sua vez, à força eletromotriz ), a corrente deixa de circular. De acordo com a Eq. 25-

1 (q = CV), a carga de equilíbrio (carga final) do capacitor é igual a C .

Vamos examinar mais de perto o processo de carga do capacitor. Em particular, estamos

interessados em saber como variam com o tempo a carga q, a diferença de potencial VC e a corrente i enquanto o capacitor está sendo carregado. Começamos por aplicar a regra das malhas ao circuito, percorrendo-o no sentido horário a partir do terminal negativo da fonte. Temos

 

O último termo do lado esquerdo representa a diferença de potencial entre as placas do capacitor. O termo é negativo porque a placa de cima do capacitor, que está ligada ao terminal positivo da fonte, tem um potencial mais alto que a placa de baixo; assim, há uma queda de potencial quando passamos da placa de cima para a placa de baixo do capacitor.

Não podemos resolver imediatamente a Eq. 27-30 porque a equação tem duas variáveis, i e q.

Entretanto, as variáveis não são independentes, pois estão relacionadas pela equação

Combinando as Eqs. 27-30 e 27-31, obtemos

 

 

Essa equação diferencial descreve a variação, com o tempo, da carga q no capacitor da Fig. 27-15. Para

resolvê-la, é preciso encontrar a função q(t) que satisfaz a Eq. 27-32 e que também satisfaz a condição de que o capacitor está inicialmente descarregado, ou seja, de que q = 0 no instante t = 0.

Mais adiante vamos mostrar que a solução da Eq. 27-32 é

 

(A constante e que aparece na Eq. 27-33 é a base dos logaritmos naturais, 2,718 ..., e não a carga

elementar.) Observe que a Eq. 27-33 satisfaz a condição inicial, já que, para t = 0, o termo e−t/RC é igual a 1; portanto, q = 0. Observe também que, quando t tende a infinito (ou seja, após um longo período de tempo), o termo e−t/RC tende a zero. Isso significa que a equação também prevê corretamente o valor

final da carga do capacitor, q = C . A Fig. 27-16a mostra o gráfico de q(t) em função de t durante a carga do capacitor.

A derivada de q(t) é a corrente de carga do capacitor:

 

A Fig. 27-16b mostra o gráfico de i(t) em função de t durante o processo de carga do capacitor. Observe que o valor inicial da corrente é /R e que a corrente tende a zero quando a carga do capacitor tende para o valor final.

 

Um capacitor que está sendo carregado se comporta inicialmente como um fio comum. Após um

longo período de tempo, o capacitor se comporta como um fio partido.

 

De acordo com as Eqs. 25-1 (q = CV) e 27-33, a diferença de potencial VC(t) entre as placas do

capacitor durante o processo de carga é dada por

 

De acordo com a Eq. 27-35, V = 0 no instante t = 0, em que o capacitor está totalmente descarregado, C

e VC = quando t → ∞ e a carga do capacitor tende para o valor final.

 

A Constante de Tempo

O produto RC que aparece nas Eqs. 27-33 a 27-35 tem dimensão de tempo (tanto porque o argumento de uma exponencial deve ser adimensional como porque 1,0 Ω × 1,0 F = 1,0 s). O produto RC é chamado de constante de tempo capacitiva do circuito e representado pela letra grega τ:

 

De acordo com a Eq. 27-33, no instante t = τ (= RC), a carga do capacitor inicialmente descarregado da

Fig. 27-15 aumentou de zero para

 

Em palavras, durante a primeira constante de tempo τ a carga aumentou de zero para 63% do valor

final C . Na Fig. 27-16, os triângulos no eixo dos tempos assinalam intervalos sucessivos de uma constante de tempo durante a carga do capacitor. Os tempos de carga dos circuitos RC são frequentemente expressos em termos de τ; quanto maior o valor de τ, maior o tempo necessário para carregar um capacitor.

 

Figura 27-16 (a) Gráfico da Eq. 27-33, que mostra a carga do capacitor da Fig. 27-15 em função do tempo. (b) Gráfico da Eq. 27-34,

que mostra a corrente de carga no circuito da Fig. 27-15 em função do tempo. As curvas foram plotadas para R = 2000 τ, C = 1 μF e = 10 V; os triângulos representam intervalos sucessivos de uma constante de tempo τ.

 

Descarga de um Capacitor

Suponha agora que o capacitor da Fig. 27-15 esteja totalmente carregado, ou seja, com um potencial V0 igual à força eletromotriz da fonte. Em um novo instante t = 0, a chave S é deslocada da posição a para a posição b, fazendo com que o capacitor comece a se descarregar através da resistência R. Nesse caso, como variam com o tempo a carga q do capacitor e a corrente i no circuito?

A equação diferencial que descreve a variação de q com o tempo é semelhante à Eq. 27-32,

exceto pelo fato de que agora, como a fonte não está mais no circuito, = 0. Assim,

A solução dessa equação diferencial é

 

 

em que q (= CV0) é a carga inicial do capacitor. O leitor pode verificar, por substituição, que a Eq. 27-

39 é realmente uma solução da Eq. 27-38.

De acordo com a Eq. 27-39, a carga q diminui exponencialmente com o tempo, a uma taxa que

depende da constante de tempo capacitiva τ = RC. No instante t = τ, a carga do capacitor diminuiu para q0e−1 ou, aproximadamente, 37% do valor inicial. Observe que quanto maior o valor de τ, maior o tempo de descarga.

Derivando a Eq. 27-39, obtemos a corrente i(t):

 

De acordo com a Eq. 27-40, a corrente também diminui exponencialmente com o tempo, a uma taxa dada por τ. A corrente inicial i0 é igual a q/RC. Note que é possível calcular o valor de i0 simplesmente aplicando a regra das malhas ao circuito no instante t = 0; nesse instante, o potencial inicial do capacitor, V0, está aplicado à resistência R e, portanto, a corrente é dada por i0 = V0/R = (q0/C)/R =

q0/RC. O sinal negativo da Eq. 27-40 pode ser ignorado; significa simplesmente que, a partir do instante t = 0, a carga q do capacitor vai diminuir.

 

Demonstração daEq. 27-33

Para resolver a Eq. 27-32, dividimos todos os termos por R, o que nos dá

 

A solução geral da Eq. 27-41 é da forma

 

em que q é uma solução particular da equação diferencial, K é uma constante a ser determinada a p

partir das condições iniciais e a = 1/RC é o coeficiente de q na Eq. 27-41. Para determinar qp, fazemos

dq/dt = 0 na Eq. 27-41 (o que corresponde à situação final de equilíbrio), fazemos q = q e resolvemos p a equação, obtendo

 

Para determinar K, primeiro substituímos a Eq. 27-43 na Eq. 27-42 para obter

q = C + Ke–at.

Em seguida, usando a condição inicial q = 0 no instante t = 0, obtemos

0 = C + K,

ou K = −C . Finalmente, com os valores de qp, a e K inseridos, a Eq. 27-42 se torna

q = C – C e , –t/RC

que é equivalente à Eq. 27-33.

 

Teste 5

A tabela mostra quatro conjuntos de valores para os componentes do circuito da Fig. 27-15.

Coloque os conjuntos em ordem decrescente de acordo (a) com a corrente inicial (com a chave na

posição a) e (b) com o tempo necessário para que a corrente diminua para metade do valor inicial.

 

1 2 3 4

(V) 12 12 10 10

R(Ω) 2 3 10 5 C(μF) 3 2 0,5 2

 

Exemplo 27.05 Descarga de um circuito RC para evitar um

incêndio em uma parada para reabastecimento

Quando um carro está em movimento, elétrons passam do piso para os pneus e dos pneus para a

carroceria. O carro armazena essa carga em excesso como se a carroceria fosse uma das placas de

um capacitor, e o piso fosse a outra placa (Fig. 27-17a). Quando o carro para, ele descarrega o

excesso de carga através dos pneus, da mesma forma como um capacitor se descarrega através de

um resistor. Se um objeto condutor se aproxima do carro antes que este esteja totalmente

descarregado, a diferença de potencial associada ao excesso de cargas pode produzir uma centelha

entre o carro e o objeto. Suponha que o objeto condutor seja o bico de uma mangueira de

combustível. Nesse caso, a centelha inflamará o combustível, produzindo um incêndio, se a

energia da centelha exceder o valor crítico Ufogo = 50 mJ.

Quando o carro da Fig. 27-17a para no instante t = 0, a diferença de potencial entre o carro e

o piso é V 0 = 30 kV. A capacitância do sistema carro-piso é C = 500 pF, e a resistência de cada

pneu é R = 100 GΩ. Quanto tempo é preciso para que a energia associada às cargas do carro pneu

caia abaixo do valor crítico Ufogo?

 

IDEIAS-CHAVE

(1) Em qualquer instante t, a energia potencial elétrica U de um capacitor está relacionada à carga

armazenada q pela Eq. 25-21 (U = q2/2C). (2) Quando um capacitor está se descarregando, a

carga diminui com o tempo, de acordo com a Eq. 27-39 (q = q0e−t/RC).

Cálculos: Podemos tratar os pneus como resistores com uma extremidade em contato com a

carroceria do carro e a outra extremidade em contato com o piso. A Fig. 27-17b mostra os quatro

resistores ligados em paralelo com a capacitância do carro, e a Fig. 27-17c mostra a resistência

equivalente R dos quatro resistores. De acordo com a Eq. 27-24, a resistência R é dada por

 

Figura 27-17 (a) Um carro eletricamente carregado e o piso se comportam como um capacitor

que pode se descarregar através dos pneus. (b) Circuito usado para modelar o capacitor carro-

piso, com as resistências dos quatro pneus Rpneu ligadas em paralelo. (c) A resistência equivalente

R dos pneus. (d) A energia potencial elétrica U do capacitor carro–piso diminui durante a

descarga.

 

Quando o carro para, a carga em excesso é descarregada através da resistência R.

Vamos agora usar as duas Ideias-Chave para analisar a descarga. Substituindo a Eq. 27-39 na Eq.

25-21, obtemos

 

De acordo com a Eq. 25-1 (q = CV), podemos relacionar a carga inicial q0 do carro à diferença de

potencial V : q = CV . Substituindo essa equação na Eq. 27-45, obtemos 0 0 0