Energia Armazenada em um Campo Elétrico

é igual ao trabalho necessário para carregar o capacitor. Essa energia pode ser associada ao campo elétrico do capacitor.

• A todo campo elétrico, entre as placas de um capacitor ou em qualquer outro lugar, está associada uma energia. No vácuo, a densidade de energia u (energia potencial por unidade de volume) associada a um campo elétrico de módulo E é dada por

Energia Armazenada em um Campo Elétrico

Para que um capacitor se carregue, é preciso que um agente externo execute um trabalho. Imagine que, usando “pinças mágicas”, você pudesse remover elétrons de uma das placas de um capacitor inicialmente descarregado e depositá-los na outra placa, um de cada vez. O campo elétrico que essa transferência produz no espaço entre as placas tem um sentido tal que se opõe a novas transferências de carga. Assim, à medida que a carga fosse sendo acumulada nas placas do capacitor, seria necessário realizar um trabalho cada vez maior para transferir novos elétrons. Na vida real, o trabalho não é executado por “pinças mágicas”, mas por uma bateria, à custa de uma reserva de energia química. Podemos dizer que esse trabalho é convertido na energia potencial do campo elétrico que existe no espaço entre as placas de um capacitor carregado.

Suponha que, em um dado instante, uma carga q′ tenha sido transferida de uma placa de um capacitor para a outra. A diferença de potencial V′ entre

as placas nesse instante é q′/C. De acordo com a Eq. 24-6, se uma carga adicional dq′ é transferida, o trabalho adicional necessário para a transferência é dado por

O trabalho necessário para carregar o capacitor com uma carga final q é dado por

Como esse trabalho é convertido em energia potencial U do capacitor, temos

De acordo com a Eq. 25-1, a Eq. 25-21 também pode ser escrita na forma

As Eqs. 25-21 e 25-22 são válidas, qualquer que seja a forma geométrica do capacitor.

Para entender melhor o fenômeno do armazenamento de energia em capacitores, considere dois capacitores de placas paralelas de características iguais, exceto pelo fato de que a distância entre as placas do capacitor 1 é duas vezes maior que a distância entre as placas do capacitor 2. Nesse caso, o volume entre as placas do capacitor 1 é duas vezes maior que o volume

entre as placas do capacitor 2 e, de acordo com a Eq. 25-9, a capacitância

do capacitor 2 é duas vezes maior que a do capacitor 1. Segundo a Eq. 25-4, se os dois capacitores possuem a mesma carga q, os campos elétricos entre

as placas são iguais e, de acordo com a Eq. 25-21, a energia armazenada no capacitor 1 é duas vezes maior que a energia do capacitor 2. Assim, se dois capacitores com a mesma forma geométrica têm a mesma carga e, portanto, o mesmo campo elétrico entre as placas, aquele que tem um volume duas vezes maior possui uma energia armazenada duas vezes maior. Análises como essa confirmam nossa afirmação anterior:

A energia potencial armazenada em um capacitor carregado está

associada ao campo elétrico que existe entre as placas.

Explosões de Nuvens de Pó

Como vimos no Módulo 21-1, quando uma pessoa entra em contato com alguns objetos, como um suéter de lã, um tapete ou mesmo um escorrega de plástico, ela pode adquirir uma carga elétrica considerável. Essa carga pode ser suficiente para produzir uma centelha quando a pessoa aproxima a mão de um corpo aterrado, como uma torneira, por exemplo. Em muitas indústrias que trabalham com pós, como as de alimentos e de cosméticos, centelhas desse tipo podem ser muito perigosas. Mesmo que a substância de que é feito o pó não seja inflamável, quando pequenos grãos estão em suspensão no ar e, portanto, cercados de oxigênio, podem queimar tão depressa que a nuvem de pó explode. Os engenheiros de segurança não podem eliminar todas as causas possíveis de centelhas nas indústrias que lidam com pós, mas procuram manter a quantidade de energia disponível nas centelhas bem abaixo do valor limite U (≈ 150 mJ) acima do qual os l grãos de pó se incendeiam.

Suponha que uma pessoa adquira uma carga elétrica ao entrar em contato com várias superfícies enquanto caminha no interior de um depósito. Podemos modelar a pessoa como um capacitor esférico de raio R

= 1,8 m. De acordo com a Eq. 25-18 (C = 4πε R) e a Eq. 25-22 , a 0

energia do capacitor é

Nesse caso, o valor limite da energia corresponde a um potencial

Um dos recursos que os engenheiros de segurança usam para manter o potencial dos operários abaixo desse valor é “drenar” as cargas, instalando um piso condutor no local de trabalho.

Densidade de Energia Em um capacitor de placas paralelas, desprezando o efeito das bordas, o campo elétrico tem o mesmo valor em todos os pontos situados entre as placas. Assim, a densidade de energia u, ou seja, a energia potencial por unidade de volume no espaço entre as placas, também é uniforme. Podemos calcular u dividindo a energia potencial total pelo volume Ad do espaço

entre as placas. De acordo com a Eq. 25-22, temos

De acordo com a Eq. 25-9 (C = ε A/d), este resultado pode ser escrito na 0 forma

Além disso, de acordo com a Eq. 24-42 (E = −ΔV/Δs), V/d é igual ao módulo do campo elétrico E, e, portanto,

Embora tenhamos chegado a este resultado para o caso particular de um capacitor de placas paralelas, ele se aplica a qualquer campo elétrico. Se existe um campo elétrico em um ponto do espaço, podemos pensar nesse ponto como uma fonte de energia potencial elétrica cujo valor por unidade

de volume é dado pela Eq. 25-25.

Exemplo 25.04 Energia potencial e densidade

de energia de um campo elétrico

Uma esfera condutora isolada cujo raio R é 6,85 cm possui uma carga

q = 1,25 nC.

(a) Qual é a energia potencial armazenada no campo elétrico desse

condutor carregado?

IDEIAS-CHAVE

(1) Uma esfera condutora isolada possui uma capacitância dada pela

Eq. 25-18 (C = 4πε R). (2) A relação entre a energia U armazenada em 0

um capacitor, a carga q armazenada no capacitor e a capacitância C é

dada pela Eq. 25-21 (U = q2/2C).

Cálculo: Fazendo C = 4πε R na Eq. 25-21, obtemos 0

(b) Qual é a densidade de energia na superfície da esfera?

IDEIA-CHAVE

De acordo com a Eq. 25-25 , a densidade de energia u

armazenada em um campo elétrico depende do módulo E do campo.

Cálculos: Precisamos determinar o valor de E na superfície da esfera.

O valor de E é dado pela Eq. 23-15:

A densidade de energia é, portanto,