Três Circuitos Simples

Daqui a pouco, vamos estudar um sistema constituído por uma fonte de força eletromotriz alternada e um circuito RLC série, como o sistema da

Fig. 31-7, e obter expressões para a amplitude I e constante de fase ϕ da corrente no circuito em função da amplitude e frequência angular ω da d força eletromotriz. Antes, porém, vamos examinar três circuitos mais simples, constituídos apenas pela fonte e um componente como R, C e L. Começaremos com um componente resistivo (uma carga resistiva pura).

 

Figura 31-7 Circuito de uma malha formado por um resistor, um capacitor e um indutor. Um gerador, representado por uma senoide no interior de um círculo, produz uma força eletromotriz alternada que estabelece uma corrente alternada no circuito. O sentido da força eletromotriz e da corrente varia periodicamente.

 

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Carga Resistiva

A Fig. 31-8 mostra um circuito formado por um resistor R e um gerador de corrente alternada cuja força

eletromotriz é dada pela Eq. 31-28. De acordo com a regra das malhas, temos

 

De acordo com a Eq. 31-28, temos

 

Como a amplitude VR da diferença de potencial (ou tensão) entre os terminais da resistência é igual à amplitude da força eletromotriz, podemos escrever:

 

Usando a definição de resistência (R = V/i), podemos escrever a corrente na resistência como

 

De acordo com a Eq. 31-29, a corrente também pode ser escrita na forma

 

em que I é a amplitude da corrente i na resistência. Comparando as Eqs. 31-31 e 31-32, vemos que, no caso de R R

uma carga resistiva pura, a constante de fase ϕ é nula.

 

Figura 31-8 Circuito formado por um resistor e um gerador de corrente alternada.

Vemos também que a amplitude da tensão e a amplitude da corrente estão relacionadas pela equação

 

Embora essa relação tenha sido demonstrada apenas para o circuito da Fig. 31-8, ela se aplica a qualquer resistência em qualquer circuito.

Comparando as Eqs. 31-30 e 31-31, vemos que as grandezas variáveis com o tempo v R e iR são funções de sen

ωdt com ϕ = 0o. Isso significa que as duas grandezas estão em fase, ou seja, passam ao mesmo tempo pelos

máximos e pelos mínimos. A Fig. 31-9a, que é um gráfico de v R(t) e iR(t), ilustra esse fato. Observe que os valores máximos de v R e iR não diminuem com o tempo porque o gerador fornece energia ao circuito para compensar a energia dissipada em R.

As grandezas variáveis com o tempo vR e iR podem ser representadas geometricamente por fasores. Como

vimos no Módulo 16-6, fasores são vetores que giram em torno de uma origem. Os fasores que representam a

tensão e a corrente no resistor da Fig. 31-8 são mostrados na Fig. 31-9b para um instante de tempo arbitrário t. Esses fasores têm as seguintes propriedades:

Velocidade angular: Os dois fasores giram em torno da origem no sentido anti-horário com uma velocidade

angular igual à frequência angular ω d de vR e iR.

Comprimento: O comprimento de cada fasor representa a amplitude de uma grandeza alternada, VR no caso da

tensão e I no caso da corrente. R

Projeção: A projeção de cada fasor no eixo vertical representa o valor da grandeza alternada no instante t, v R no

caso da tensão e i no caso da corrente. R

Ângulo de rotação: O ângulo de rotação de cada fasor é igual à fase da grandeza alternada no instante t. Na Fig.

31-9b, a tensão e a corrente estão em fase; como têm a mesma velocidade angular e o mesmo ângulo de rotação,

os dois fasores giram juntos.

Acompanhe mentalmente a rotação. Não é fácil ver que a tensão e a corrente atingem os valores máximos v R

= VR e iR = IR quando o ângulo de rotação é 90o (ou seja, quando os dois fasores estão apontando verticalmente para

cima)? As Eqs. 31-30 e 31-32 fornecem os mesmos resultados.

 

Teste 3

Quando aumentamos a frequência de excitação de um circuito com uma carga resistiva pura, (a) a amplitude

VR aumenta, diminui ou permanece a mesma? (b) A amplitude IR aumenta, diminui ou permanece a mesma?

 

Figura 31-9 (a) Gráfico da corrente i no resistor e da diferença de potencial v entre os terminais do resistor em função do tempo t. A corrente e a R R diferença de potencial estão em fase e completam um ciclo em um período T. (b) Diagrama fasorial correspondente ao gráfico mostrado em (a).

 

Exemplo 31.03 Diferença de potencial e corrente para uma carga

resistiva pura

No circuito da Fig. 31-8, a resistência R é 200 Ω e o gerador produz uma força eletromotriz de amplitude =

36,0 V e frequência fd = 60,0 Hz.

(a) Qual é a diferença de potencial vR(t) entre os terminais do resistor em função do tempo t, e qual é a

amplitude V de v (t)? R R

 

IDEIA-CHAVE

Em um circuito com uma carga puramente resistiva, a diferença de potencial v (t) entre os terminais do R

resistor é igual à diferença de potencial (t) entre os terminais do gerador.

Cálculos: Nesse caso, v R(t) = (t) e VR = . Como é conhecida, podemos escrever

 

Para determinar v (t), usamos a Eq. 31-28 para escrever R

e, em seguida, fazemos = 36,0 V e

ω = 2πf = 2π(60 Hz) 120π d d

para obter

v R = (36,0 V) sen(120πt),

Podemos deixar o argumento do seno nessa forma, por conveniência, ou escrevê-lo como (377 rad/s)t ou (377

s−1)t.

(b) Qual é a corrente iR(t) no resistor e qual é a amplitude IR de iR(t)?

 

IDEIA-CHAVE

Em um circuito de CA com uma carga resistiva pura, a corrente alternada iR(t) no resistor está em fase com a

diferença de potencial alternada v (t) entre os terminais do resistor, ou seja, a constante de fase ϕ da corrente é R

zero.

Cálculos: Nesse caso, podemos escrever a Eq. 31-29 na forma

 

De acordo com a Eq. 31-33, a amplitude I é R

 

Substituindo este valor e fazendo ω = 2πf = 120π na Eq. 31-35, obtemos d d

 

Figura 31-10 Circuito formado por um capacitor C e um gerador de corrente alternada.

 

Carga Capacitiva

A Fig. 31-10 mostra um circuito formado por um capacitor C e um gerador de corrente alternada cuja força

eletromotriz é dada pela Eq. 31-28. Aplicando a regra das malhas e procedendo como fizemos para obter a Eq. 31-

30, descobrimos que a diferença de potencial entre os terminais do capacitor é dada por

 

em que VC é a amplitude da tensão alternada no capacitor. Usando a definição de capacitância, também podemos escrever

 

Nosso interesse, porém, está na corrente e não na carga. Assim, derivamos a Eq. 31-37 para obter

Vamos agora modificar a Eq. 31-38 de duas formas. Em primeiro lugar, para padronizar a notação, vamos

definir uma grandeza X , conhecida como reatância capacitiva de um capacitor, por meio da relação C

 

O valor de XC depende da capacitância e da frequência angular de excitação ωd. Sabemos, da definição de constante de tempo capacitiva (τ = RC), que a unidade de C no SI pode ser expressa em segundos por ohm. Usando

essa unidade na Eq. 31-39, vemos que a unidade de X C no SI é o ohm, a mesma da resistência R.

Em segundo lugar, substituímos cos ω t na Eq. 31-38 por um seno com um deslocamento de fase de 90o: d

cos ωdt = sen(ωdt + 90°).

Para mostrar que essa identidade está correta, basta deslocar uma senoide de 90o no sentido negativo.

Com as duas modificações, a Eq. 31-38 se torna

 

De acordo com a Eq. 31-29, podemos escrever a corrente iC no capacitor da Fig. 31-10 na forma

 

em que IC é a amplitude de iC. Comparando as Eqs. 31-40 e 31-41, vemos que, para uma carga capacitiva pura, a constante de fase ϕ da corrente é −90o. Vemos também que a amplitude da tensão e a amplitude da corrente estão relacionadas pela equação

 

Embora essa relação tenha sido demonstrada apenas para o circuito da Fig. 31-10, ela se aplica a qualquer

capacitância em qualquer circuito de corrente alternada.

Comparando as Eqs. 31-36 e 31-40 ou examinando a Fig. 31-11a, vemos que as grandezas v e i estão C C

defasadas de 90o (o que equivale a π/2 rad ou um quarto de ciclo) e iC está adiantada em relação a vC, ou seja,

quando medimos i e v no circuito da Fig. 31-10 em função do tempo, i atinge o valor máximo um quarto de C C C ciclo antes de vC.

Essa relação entre iC e vC está ilustrada no diagrama fasorial da Fig. 31-11b. Enquanto os fasores que

representam as duas grandezas giram com a mesma velocidade angular no sentido anti-horário, o fasor IC se mantém à frente do fasor V C, e o ângulo entre os dois fasores tem um valor constante de 90o, ou seja, quando o fasor IC coincide com o eixo vertical, o fasor VC coincide com o eixo horizontal. É fácil verificar que o diagrama

fasorial da Fig. 31-11b é compatível com as Eqs. 31-36 e 31-40.

Figura 31-11 o ( a ) A corrente no capacitor está adiantada de 90 (= π/2 rad) em relação à tensão. (b) Diagrama fasorial correspondente ao gráfico que está mostrado em (a).

 

Teste 4

A figura mostra, em (a), uma curva senoidal S(t) = sen(ωdt) e três outras curvas senoidais A(t), B(t) e C(t),

todas da forma sen(ω dt − ϕ). (a) Coloque as outras três curvas na ordem do valor de ϕ, começando pelo maior

valor positivo e terminando no maior valor negativo. (b) Estabeleça a correspondência entre as curvas da

parte (a) da figura e os fasores da parte (b). (c) Qual das curvas da parte (a) está adiantada em relação a todas

as outras?

 

Exemplo 31.04 Diferença de potencial e corrente para uma carga

capacitiva pura

Na Fig. 31-10, a capacitância C é 15,0 μF e o gerador produz uma força eletromotriz senoidal de amplitude

= 36,0 V e frequência fd = 60,0 Hz.

(a) Qual é a diferença de potencial v C(t) entre os terminais do capacitor em função do tempo e qual é a

amplitude V de v (t)? C C

 

IDEIA-CHAVE

Em um circuito com uma carga puramente capacitiva, a diferença de potencial v (t) entre os terminais do C

capacitor é igual à diferença de potencial (t) entre os terminais do gerador.

Cálculos: Nesse caso, v C(t) = (t) e VC = . Como é conhecida, podemos escrever

Para determinar vC(t), usamos a Eq. 31-28 para escrever

 

Em seguida, fazemos = 36,0 V e ω = 2πf = 120π na Eq. 31-43 para obter d d

 

(b) Qual é a corrente iC(t) no circuito e qual é a amplitude IC de iC(t)?

 

IDEIA-CHAVE

Em um circuito de CA com uma carga capacitiva pura, a corrente alternada iC(t) no capacitor está adiantada

de 90o em relação à diferença de potencial alternada vC(t) entre os terminais do capacitor, ou seja, a constante

de fase ϕ para a corrente é −90o ou −π/2 rad.

Cálculos: Nesse caso, podemos escrever a Eq. 31-29 na forma

 

Para calcular a amplitude IC da corrente no capacitor usando a Eq. 31-42 (VC = ICXC), precisamos conhecer a

reatância capacitiva X . De acordo com a Eq. 31-39 (X = 1/ω C), em que ω = 2πf , podemos escrever C C d d d

 

Nesse caso, de acordo com a Eq. 31-42, temos

 

Substituindo esse valor e ωd = 2πfd = 120π na Eq. 31-44, obtemos

 

Carga Indutiva

A Fig. 31-12 mostra um circuito formado por um indutor L e um gerador de corrente alternada cuja força

eletromotriz é dada pela Eq. 31-28. Aplicando a regra das malhas e procedendo como fizemos para obter a Eq. 31-

30, constatamos que a diferença de potencial entre os terminais do indutor é dada por

 

em que V é a amplitude da tensão alternada v no indutor. Utilizando a Eq. 30-35 ( = −L di/dt), podemos L L escrever a diferença de potencial entre os terminais de um indutor L no qual a corrente está variando à taxa diL/dt na forma

 

Combinando as Eqs. 31-45 e 31-46, obtemos

Figura 31-12 Circuito formado por um indutor L e um gerador de corrente alternada.

 

Nosso interesse, porém, está na corrente e não na derivada da corrente em relação ao tempo. Assim, integramos a

Eq. 31-47 para obter

 

Vamos agora modificar a Eq. 31-48 de duas formas. Em primeiro lugar, para padronizar a notação, vamos

definir a grandeza X , conhecida como reatância indutiva de um indutor, por meio da relação L

 

O valor de XL depende tanto da indutância como da frequência angular de excitação ωd. Sabemos, da definição de constante de tempo indutiva (τL = L/R), que a unidade de L no SI pode ser expressa em ohms-segundos. Usando

essa unidade na Eq. 31-49, vemos que a unidade de X no SI é o ohm, a mesma da resistência R e da reatância L capacitiva XC.

Em segundo lugar, substituímos −cos ω t na Eq. 31-48 por um seno com um deslocamento de fase de 90o: d

−cos ωdt = sen(ω o d t − 90).

Para mostrar que a identidade está correta, basta deslocar uma senoide 90o no sentido positivo.

Com essas duas modificações, a Eq. 31-48 se torna

 

De acordo com a Eq. 31-29, também podemos escrever a corrente no indutor como

 

em que IL é a amplitude de iL. Comparando as Eqs. 31-50 e 31-51, vemos que, para uma carga indutiva pura, a constante de fase ϕ da corrente é +90o. Vemos também que a amplitude da tensão e a amplitude da corrente estão relacionadas pela equação

 

Embora essa relação tenha sido demonstrada apenas para o circuito da Fig. 31-12, ela se aplica a qualquer indutância em qualquer circuito de corrente alternada.

Comparando as Eqs. 31-45 e 31-50 ou examinando a Fig. 31-13a, vemos que as grandezas vL e iL estão

defasadas de 90o, e iL está atrasada em relação a vL, ou seja, quando medimos iL e vL no circuito da Fig. 31-12 em função do tempo, iL atinge o valor máximo um quarto de ciclo depois de vL.

Essa relação entre i e v está ilustrada no diagrama fasorial da Fig. 31-13b. Enquanto os fasores que L L

representam as duas grandezas giram com a mesma velocidade angular no sentido anti-horário, o fasor VL se mantém à frente do fasor I e o ângulo entre os dois fasores tem um valor constante de 90o, ou seja, quando o fasor L

VL coincide com o eixo vertical, o fasor IL coincide com o eixo horizontal. É fácil verificar que o diagrama fasorial

da Fig. 31-13b é compatível com as Eqs. 31-45 e 31-50.

 

Figura 31-13 o ( a ) A corrente no indutor está adiantada de 90 (= π/2 rad) em relação à tensão. (b) Diagrama fasorial correspondente ao gráfico mostrado em (a).

 

Teste 5

Quando aumentamos a frequência de excitação de um circuito que contém uma carga capacitiva pura, (a) a

amplitude VC aumenta, diminui ou permanece a mesma? (b) A amplitude IC aumenta, diminui ou permanece a

mesma? Quando aumentamos a frequência de excitação de um circuito que contém uma carga indutiva pura,

(c) a amplitude V aumenta, diminui ou permanece a mesma? (d) A amplitude I aumenta, diminui ou L L

permanece a mesma?

 

Táticas para a Solução de Problemas

Tensões e Correntes em Circuitos de CA: A Tabela 31-2 mostra a relação entre a corrente i e a tensão v nos

três tipos de componentes que acabamos de discutir. Quando uma tensão alternada é aplicada a esses

componentes, a corrente está em fase com a tensão nos resistores, está adiantada em relação à tensão nos

capacitores e está atrasada em relação à tensão nos indutores.

Alguns estudantes usam a frase mnemônica “ELI, que TOLICE!” para não esquecer essas relações. ELI

contém a letra L (símbolo do indutor), e nessa palavra a letra I (símbolo de corrente) vem depois da letra E

(símbolo de força eletromotriz ou tensão). Assim, em um indutor a corrente está atrasada em relação à

tensão. Por outro lado, a palavra TOLICE contém a letra C (símbolo do capacitor), e nessa palavra a letra I

vem antes da letra E, que significa que a corrente está adiantada em relação à tensão. O leitor também pode

usar a frase “Positivamente, ELI, isso é uma TOLICE!” para se lembrar de que a constante de fase é positiva

para os indutores.

Se o leitor tiver dificuldade para lembrar se XC é igual a ωdC (errado) ou 1/ωdC (certo), pense que C fica

na “cova”, ou seja, no denominador.

Tabela 31-2 Relações de Fase e Amplitude para Correntes e Tensões Alternadas

Componente Símbolo Resistência Fase da Constante

ou Corrente de Fase A

Reatância (ou

Ângulo)

ϕ

Resistor R R Em fase 0o (= 0

com vR rad)

Capacitor L X o C = 1/ ω d C Adiantada −90 (=

de 90o (= −π/2 rad) π/2 rad) em

relação a

vC

Indutor C X = ω L Atrasada L d +90o (=

de 90o (= +π/2 rad) π/2 rad) em

relação a

vL

 

Exemplo 31.05 Diferença de potencial e corrente para uma carga indutiva

pura

Na Fig. 31-12, a indutância L é 230 mH e o gerador produz uma força eletromotriz de amplitude = 36,0 V

e frequência f d = 60,0 Hz.

(a) Qual é a diferença de potencial v (t) entre os terminais do indutor e qual é a amplitude V de v (t)? L L L

 

IDEIA-CHAVE

Em um circuito com uma carga puramente indutiva, a diferença de potencial vL(t) entre os terminais do

indutor é sempre igual à diferença de potencial (t) entre os terminais do gerador.

Cálculos: Nesse caso, v L(t) = (t) e VL = . Como é conhecida, podemos escrever

 

Para determinar vL(t), usamos a Eq. 31-28 para escrever

 

Em seguida, fazemos = 36,0 V e ωd = 2πfd = 120π na Eq. 31-53 para obter