Aplicações da Lei de Gauss: Simetria Cilíndrica

23.20 Explicar como a lei de Gauss pode ser usada para calcular o módulo do campo elétrico do lado

de fora de uma linha de carga ou do lado de fora da superfície de um cilindro de material isolante

(uma barra de plástico, por exemplo) com uma densidade linear de carga uniforme λ.

23.21 Conhecer a relação entre a densidade linear de carga λ em uma superfície cilíndrica e o módulo

E do campo elétrico a uma distância r do eixo central da superfície cilíndrica.

23.22 Explicar como a lei de Gauss pode ser usada para calcular o módulo E do campo elétrico no

interior de um cilindro isolante (uma barra de plástico, por exemplo) com uma densidade

volumétrica de carga uniforme ρ.

 

Ideia-Chave

• O campo elétrico em um ponto nas proximidades de uma linha de carga (ou barra cilíndrica), de comprimento infinito, com uma densidade linear de carga uniforme λ é perpendicular à linha, e o módulo do campo é dado por

 

em que r é a distância entre o ponto e a linha.

 

Aplicações da Lei de Gauss: Simetria Cilíndrica

A Fig. 23-14 mostra uma parte de uma barra de plástico cilíndrica, de comprimento infinito, com uma densidade linear uniforme de carga positiva λ. Vamos obter uma expressão para o módulo do campo elétrico a uma distância r do eixo da barra. Poderíamos fazer isso usando o método do

Capítulo 22 (usar uma carga elementar dq, que produziria um campo elementar d , etc.). Entretanto, a lei de Gauss permite resolver o problema de uma forma muito mais simples (e mais elegante).

Figura 23-14 Uma superfície gaussiana cilíndrica envolvendo parte de uma barra de plástico cilíndrica, de comprimento infinito, com uma densidade linear uniforme de carga positiva.

 

A distribuição de carga e a configuração do campo elétrico têm simetria cilíndrica. Para calcular o campo a uma distância r, envolvemos um trecho da barra com um cilindro gaussiano concêntrico, de raio r e altura h. (Para determinar o campo elétrico em um ponto, devemos fazer a superfície gaussiana passar por esse ponto.) Em seguida, usamos a lei de Gauss para relacionar a carga envolvida pelo cilindro ao fluxo total do campo elétrico através da superfície do cilindro.

Para começar, observe que, por causa da simetria, o campo elétrico em qualquer ponto do espaço aponta radialmente para longe da barra (porque a carga da barra é positiva; se a carga fosse negativa, o campo elétrico apontaria radialmente para o eixo da barra). Isso significa que, nas bases do cilindro, o campo elétrico é paralelo à superfície e, portanto, o fluxo através das bases do cilindro é zero.

Para calcular o fluxo através da superfície lateral do cilindro, note que, em todos os elementos de área da superfície lateral, o vetor área d aponta radialmente para longe do cilindro (para fora da superfície gaussiana), ou seja, na mesma direção e no mesmo sentido que o campo elétrico. Assim, o produto escalar que aparece na lei de Gauss é simplesmente E dA cos 0o = E dA, e podemos passar E para fora da integral. A integral restante é simplesmente uma receita para somar as áreas de todos os elementos de área da superfície lateral do cilindro, mas já sabemos que o resultado é o produto da altura h do cilindro pela circunferência da base, 2πr. O fluxo total através do cilindro é, portanto,

 

Φ = EA cos θ = E(2 πrh) cos 0 = E(2 πrh).

 

Do outro lado da lei de Gauss, temos a carga q envolvida pelo env

cilindro. Como a densidade linear de carga (carga por unidade de comprimento) é uniforme, a carga envolvida é λh. Assim, a lei de Gauss,

 

ε Φ = q , 0 env

ε E(2 πrh) = λh, 0

 

nos dá

 

Esse é o campo elétrico produzido por uma linha de carga infinitamente longa em um ponto situado a uma distância r da linha. O campo aponta radialmente para longe da linha de carga, se a carga for positiva, e

radialmente na direção da linha de carga, se a carga for negativa. A Eq. 23-

12 também fornece o valor aproximado do campo produzido por uma linha de carga finita em pontos não muito próximos das extremidades da linha (em comparação com a distância da linha).

Se a barra possui uma densidade volumétrica de carga ρ uniforme, podemos usar um método semelhante para calcular o módulo do campo elétrico no interior da barra. Para isso, basta reduzir o raio do cilindro

gaussiano da Fig. 23-14 até que a superfície lateral do cilindro esteja no interior da barra. Nesse caso, como a densidade de carga é uniforme, a carga q envolvida pelo cilindro será proporcional ao volume do cilindro. env

 

Exemplo 23.06 A lei de Gauss e uma

descarga para cima em uma tempestade elétrica

A mulher da Fig. 23-15 estava em uma plataforma de observação do

Sequoia National Park quando uma grande nuvem de tempestade

passou no céu. Muitos elétrons de condução do corpo da mulher foram

repelidos para a terra pela base da nuvem, negativamente carregada

(Fig. 23-16a), o que deixou o corpo da mulher positivamente

carregado. Observando a fotografia da Fig. 23-15, é possível concluir

que o corpo da mulher está carregado, já que os fios de cabelo se

repelem mutuamente e se projetam para cima ao longo das linhas de

campo elétrico produzidas pela carga do corpo.

 

Courtesea da NOAA

Figura 23-15 Uma nuvem de tempestade deixou esta mulher

positivamente carregada.

 

A mulher não foi atingida por um relâmpago, mas estava

correndo um sério risco, pois o campo elétrico estava a ponto de causar

uma ruptura dielétrica no ar à sua volta. Essa ruptura teria ocorrido ao

longo de uma trajetória ascendente, o que é chamado de descarga para

cima. Uma descarga para cima é perigosa porque a ionização que

produz nas moléculas do ar libera um grande número de elétrons. Se a

mulher da Fig. 23-15 tivesse provocado uma descarga para cima, os

elétrons livres do ar teriam sido atraídos para o seu corpo (Fig. 23-

16b), produzindo um choque possivelmente fatal. Um choque elétrico

é perigoso porque, dependendo da intensidade, pode interromper a

respiração ou os batimentos cardíacos, além de causar queimaduras.

Vamos modelar o corpo da mulher como um cilindro vertical

estreito, de altura L = 1,8 m e raio R = 0,10 m (Fig. 23-16c). Suponha

que a carga Q esteja uniformemente distribuída ao longo do cilindro e

que a ruptura dielétrica ocorra quando o módulo do campo elétrico

excede o valor crítico E = 2,4 MN/C. Para qual valor de Q o ar em c

volta da mulher está a ponto de sofrer uma ruptura dielétrica?

 

IDEIAS-CHAVE

Como R << L, podemos aproximar a distribuição de carga por uma

linha comprida de carga. Além disso, como estamos supondo que a

distribuição de carga é uniforme, o módulo do campo elétrico é dado

aproximadamente pela Eq. 23-12 (E = λ/2πε r). 0

Cálculos: Substituindo o campo elétrico E pelo valor crítico E , a c

distância radial r pelo raio do cilindro R, e a densidade linear de carga

λ pela razão Q/L, temos

 

ou

Substituindo as constantes por valores numéricos, temos