Cálculo da Capacitância

Vamos agora discutir o cálculo da capacitância de um capacitor a partir da forma geométrica. Como serão analisadas diferentes formas geométricas, é conveniente definir um método único para facilitar o trabalho. O método, em linhas gerais, é o seguinte: (1) Supomos que as placas do capacitor estão carregadas com uma carga q; (2) calculamos o campo elétrico entre as placas em função da carga, usando a lei de Gauss; (3) a partir de ,

calculamos a diferença de potencial V entre as placas, usando a Eq. 24-18;

(4) calculamos C usando a Eq. 25-1.

Antes de começar, podemos simplificar o cálculo do campo elétrico e da diferença de potencial fazendo algumas hipóteses, que são discutidas a seguir.

 

Cálculo do Campo Elétrico

Para relacionar o campo elétrico entre as placas de um capacitor à carga q de uma das placas, usamos a lei de Gauss:

 

em que q é a carga envolvida por uma superfície gaussiana e é o

fluxo elétrico que atravessa a superfície. Em todos os casos que vamos examinar, a superfície gaussiana é escolhida de tal forma que sempre que existe um fluxo, tem um módulo constante E e os vetores e são

paralelos. Nesse caso, a Eq. 25-3 se reduz a

 

em que A é a área da parte da superfície gaussiana através da qual existe um fluxo. Por conveniência, vamos desenhar a superfície gaussiana de forma a

envolver totalmente a carga da placa positiva; um exemplo aparece na Fig.

25-5.

Cálculo da Diferença de Potencial

Na notação do Capítulo 24 (Eq. 24-18), a diferença de potencial entre as placas de um capacitor está relacionada ao campo pela equação

 

em que a integral deve ser calculada ao longo de uma trajetória que começa em uma das placas e termina na outra. Vamos sempre escolher uma trajetória que coincide com uma linha de campo elétrico, da placa negativa até a placa positiva. Para esse tipo de trajetória, os vetores e têm sentidos opostos e, portanto, o produto · é igual a −E ds. Assim, o lado

direito da Eq. 25-5 é positivo. Chamando de V a diferença V − V , a Eq. 25-f i

5 se torna

 

em que os sinais − e + indicam que a trajetória de integração começa na placa negativa e termina na placa positiva.

Vamos agora aplicar as Eqs. 25-4 e 25-6 a alguns casos particulares.

 

Capacitor de Placas Paralelas

Vamos supor, como sugere a Fig. 25-5, que a placas do nosso capacitor de placas paralelas são tão extensas e tão próximas que podemos desprezar o efeito das bordas e supor que é constante em toda a região entre as placas.

Escolhemos uma superfície gaussiana que envolve apenas a carga q da

placa positiva, como na Fig. 25-5. Nesse caso, de acordo com a Eq. 25-4, podemos escrever:

 

em que A é a área da placa.

Figura 25-5 Capacitor de placas paralelas carregado. Uma superfície gaussiana envolve a carga da

placa positiva. A integração da Eq. 25-6 é executada ao longo de uma trajetória que vai diretamente da placa negativa para a placa positiva.

 

De acordo com a Eq. 25-6, temos

 

Na Eq. 25-8, E pode ser colocado do lado de fora do sinal de integral porque é constante; a segunda integral é simplesmente a distância entre as placas, d.

Substituindo o valor de q dado pela Eq. 25-7 e o valor de V dado pela

Eq. 25-8 na relação q = CV (Eq. 25-1), obtemos

 

Assim, a capacitância depende, de fato, apenas de fatores geométricos, no caso a área A das placas e a distância d entre as placas. Observe que C é diretamente proporcional a A e inversamente proporcional a d.

A essa altura, convém observar que a Eq. 25-9 sugere uma das razões pelas quais escrevemos a constante eletrostática da lei de Coulomb na

forma 1/4πε . Se não agíssemos dessa forma, a Eq. 25-9, que é muito mais 0

usada na engenharia do que a lei de Coulomb, teria uma forma bem mais

complicada. Observamos também que a Eq. 25-9 permite expressar a constante elétrica ε em uma unidade mais apropriada para problemas que 0

envolvem capacitores:

 

Essa constante tinha sido anteriormente expressa na forma

 

Capacitor Cilíndrico

A Fig. 25-6 mostra uma vista em seção reta de um capacitor cilíndrico de comprimento L formado por dois cilindros coaxiais de raios a e b. Vamos supor que L b para que os efeitos das bordas sobre o campo elétrico possam ser desprezados. As duas placas contêm cargas de valor absoluto q.

Como superfície gaussiana, escolhemos um cilindro de comprimento L

e raio r, visto em seção reta na Fig. 25-6, que é coaxial com os outros dois cilindros e envolve o cilindro interno (e, portanto, a carga q desse cilindro).

De acordo com a Eq. 25-4, temos

 

q = ɛ EA = ɛ E(2 πrL). 0 0

 

em que 2πrL é a área da superfície lateral do cilindro gaussiano. O fluxo através das bases do cilindro é zero. Explicitando E, obtemos

 

Substituindo este resultado na Eq. 25-6, obtemos

 

em que usamos o fato de que ds = −dr (integramos na direção radial, de fora para dentro). Usando a relação C = q/V, obtemos

Vemos, portanto, que a capacitância de um capacitor cilíndrico, como a de um capacitor de placas paralelas, depende apenas de fatores geométricos; no caso, o comprimento L e os raios a e b.

 

 

Figura 25-6 Vista em seção reta de um capacitor cilíndrico longo, mostrando uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r (que envolve a placa positiva) e uma trajetória de integração radial ao

longo da qual a Eq. 25-6 pode ser aplicada. A figura também pode representar uma vista em seção reta de um capacitor esférico, passando pelo centro.

 

Capacitor Esférico

A Fig. 25-6 também pode ser interpretada como uma vista em seção reta de um capacitor formado por duas cascas esféricas concêntricas de raios a e b. Como superfície gaussiana, escolhemos uma esfera de raio r concêntrica

com as placas do capacitor. Nesse caso, temos, de acordo com a Eq. 25-4,

 

q = ɛ EA = ɛ E(4 πr2), 0 0 em que 4πr2 é a área da superfície esférica gaussiana. Explicitando E, obtemos

 

que é a expressão do campo elétrico produzido por uma distribuição

esférica uniforme de cargas (Eq. 23-15).

Substituindo esta expressão na Eq. 25-6, obtemos

 

em que, mais uma vez, temos ds = −dr. Substituindo a Eq. 25-16 na Eq. 25-

1 e explicitando C, obtemos

 

Esfera Isolada

Podemos atribuir uma capacitância a uma única esfera de raio R feita de material condutor supondo que a “placa que falta” é uma casca esférica condutora de raio infinito. As linhas de campo que deixam a superfície de um condutor positivamente carregado devem terminar em algum lugar; as paredes da sala em que se encontra o condutor podem ser consideradas uma boa aproximação de uma esfera de raio infinito.

Para determinar a capacitância da esfera, escrevemos a Eq. 25-17 na forma

 

Fazendo a = R e b → ∞, obtemos Observe que essa fórmula, como as usadas para calcular a capacitância para

outras formas geométricas (Eqs. 25-9, 25-14 e 25-17), envolve a constante ε multiplicada por uma grandeza com dimensão de comprimento. 0

 

Teste 2

No caso de capacitores carregados pela mesma bateria, a carga

armazenada pelo capacitor aumenta, diminui ou permanece a mesma

nas situações a seguir? (a) A distância entre as placas de um capacitor

de placas paralelas aumenta. (b) O raio do cilindro interno de um

capacitor cilíndrico aumenta. (c) O raio da casca externa de um

capacitor esférico aumenta.

 

Exemplo 25.01 Carregamento de um

capacitor de placas paralelas

Na Fig. 25-7a, a chave S é fechada para ligar um capacitor

descarregado de capacitância C = 0,25 μF a uma bateria cuja diferença

de potencial é V = 12 V. A placa inferior do capacitor tem espessura L

= 0,50 cm, área A = 2,0 × 10−4 m2 e é feita de cobre, material no qual a

densidade de elétrons de condução é n = 8,49 × 1028 elétrons/m3. De

que profundidade d no interior da placa (Fig. 25-7b) elétrons se

movem para a superfície da placa quando o capacitor está totalmente

carregado?

 

Figura 25-7 (a) Circuito com uma bateria e um capacitor. (b) Placa

inferior do capacitor.

IDEIA-CHAVE

A carga que se acumula na placa inferior está relacionada à

capacitância e à diferença de potencial entre os terminais do capacitor

pela Eq. 25-1 (q = CV).

Cálculos: Como a placa inferior está ligada ao terminal negativo da

bateria, elétrons de condução se movem para a superfície da placa. De

acordo com a Eq. 25-1, a carga total que se acumula na superfície é

 

q = CV – (0,25 × 10–6 F)(12 V)

= 3,0 × 10–6 C.

 

Dividindo esse resultado por e, obtemos o número N de elétrons de

condução que se acumulam na superfície:

 

Esses elétrons vêm de um volume que é o produto da área da placa A

pela profundidade d que queremos determinar. Para esse volume, a

densidade de elétrons de condução (elétrons por unidade de volume)

pode ser escrita na forma

 

Em linguagem coloquial, dizemos que a bateria carrega o capacitor

fornecendo elétrons a uma placa e removendo elétrons da outra placa.

Na verdade, porém, o que a bateria faz é criar um campo elétrico nos

fios e na placa que desloca elétrons para a superfície superior da placa

inferior e remove elétrons da superfície inferior da placa superior. 25-3 CAPACITORES EM PARALELO E EM