Campos Magnéticos Induzidos

32.06 Desenhar as linhas de campo do campo magnético induzido no interior de um capacitor de placas

paralelas circulares que está sendo carregado, indicando a orientação dos vetores do campo elétrico e do

campo magnético.

32.07 Saber que a lei de Ampère-Maxwell se aplica à situação geral em que existe uma corrente elétrica, e

campos magnéticos podem ser induzidos.

 

Ideias-Chave

• Um fluxo elétrico variável induz um campo magnético . A lei de Maxwell,

 

relaciona o campo magnético induzido em uma curva fechada à variação do fluxo elétrico Φ envolvido pela E curva.

• A lei de Ampère, , pode ser usada para calcular o campo magnético produzido por uma

corrente i envolvida por uma curva fechada. A lei de Maxwell e a lei de Ampère podem ser combinadas env

em uma única lei, conhecida como lei de Ampère-Maxwell:

 

Campos Magnéticos Induzidos

Como vimos no Capítulo 30, toda variação de fluxo magnético induz um campo elétrico, que pode ser calculado usando a lei de indução de Faraday:

 

Nesta equação, é o campo elétrico induzido em uma curva fechada pela variação do fluxo magnético Φ envolvido pela curva. Como a simetria é um dos B

princípios mais importantes da física, somos levados a nos perguntar se a indução pode acontecer no sentido oposto, ou seja, se um fluxo elétrico variável pode induzir um campo magnético.

A resposta é afirmativa; além disso, a equação que governa a indução de um

campo magnético é quase simétrica da Eq. 32-2. Essa equação, que recebe o nome de lei de indução de Maxwell, em homenagem ao cientista inglês James Clerk Maxwell, pode ser escrita na forma

Aqui, é o campo magnético induzido ao longo de uma curva fechada pela variação do fluxo elétrico Φ na região envolvida pela curva. E

 

Carga de um Capacitor. Como exemplo desse tipo de indução, considere a carga de um capacitor de placas paralelas com placas circulares. (Embora tenhamos escolhido essa configuração em nosso exemplo, todo campo elétrico

variável induz um campo magnético.) Suponha que a carga do capacitor (Fig. 32-

5a) esteja aumentando a uma taxa constante graças à existência de uma corrente constante i nos fios de ligação. Nesse caso, o módulo do campo elétrico entre as placas também está aumentando a uma taxa constante.

A Fig. 32-5b mostra a placa da direita da Fig. 32-5a do ponto de vista da região entre as placas. O campo elétrico aponta para dentro do papel. Considere

uma circunferência passando pelo ponto 1 das Figs. 32-5a e 32-5b, concêntrica com as placas do capacitor e com um raio menor que o raio das placas. Como o campo elétrico que atravessa a circunferência está variando, o fluxo elétrico

também varia. De acordo com a Eq. 32-3, essa variação do fluxo elétrico induz um campo magnético ao longo da circunferência.

Figura 32-5 (a) Um capacitor de placas paralelas circulares, visto de lado, está sendo carregado por uma corrente constante i. (b) Uma vista do interior do capacitor, olhando na direção da placa que está à direita em (a). O campo elétrico é uniforme, aponta para dentro do papel (em direção à placa) e aumenta de intensidade quando a carga do capacitor aumenta. O campo magnético induzido por esse campo elétrico variável é mostrado em quatro pontos de uma circunferência de raio r menor que o raio R das placas.

 

Os experimentos mostram que um campo magnético é realmente induzido ao longo da circunferência, com o sentido indicado na figura. Esse campo magnético tem o mesmo módulo em todos os pontos da circunferência e, portanto, apresenta simetria circular em relação ao eixo central das placas do capacitor (reta que liga os centros das placas).

Quando consideramos uma circunferência maior, como a que passa pelo

ponto 2, situado do lado de fora das placas nas Figs. 32-5a e 32-5b, vemos que um campo magnético também é induzido ao longo da curva. Assim, quando o campo elétrico está variando, campos magnéticos são induzidos tanto no espaço entre as placas como nas regiões vizinhas. Quando o campo elétrico para de variar, os campos magnéticos induzidos desaparecem.

Embora a Eq. 32-3 seja semelhante à Eq. 32-2, existem duas diferenças entre

as equações. Em primeiro lugar, a Eq. 32-3 possui dois fatores adicionais, μ e ε , 0 0 mas eles estão presentes apenas porque adotamos as unidades do SI. Em segundo

lugar, o sinal negativo da Eq. 32-2 não está presente na Eq. 32-3, o que significa que o campo elétrico induzido e o campo magnético induzido têm sinais opostos quando são produzidos em situações análogas. Para você ter uma ideia da

diferença, observe a Fig. 32-6, na qual um campo magnético crescente , apontando para dentro do papel, induz um campo elétrico . O campo induzido

tem o sentido anti-horário, enquanto o campo induzido da Fig. 32-5b tem o sentido horário.

 

Figura 32-6 Um campo magnético uniforme em uma região circular. O campo, que aponta para dentro do papel, está aumentando de intensidade. O campo elétrico induzido pela variação do campo magnético é mostrado em quatro pontos de uma circunferência concêntrica com a região circular. Compare essa situação

com a da Fig. 32-5b.

 

A Lei de Ampère-Maxwell

O lado esquerdo da Eq. 32-3, a integral do produto escalar · ao longo de uma curva fechada, aparece em outra equação, a lei de Ampère:

 

em que i é a corrente envolvida pela curva. Assim, nas duas equações usadas env

para calcular o campo magnético produzido por outro meio que não seja um material magnético (ou seja, por uma corrente e por um campo elétrico variável), o campo magnético aparece na forma de uma integral de linha. Podemos combinar as duas equações para obter a equação

 

Quando existe uma corrente e o fluxo elétrico não está variando (como no caso de um fio percorrido por uma corrente constante), o primeiro termo do lado direito

da Eq. 32-5 é zero e, portanto, a Eq. 32-5 se reduz à Eq. 32-4, a lei de Ampère. Quando o fluxo elétrico está variando e a corrente é zero (como na região entre as placas de um capacitor que está sendo carregado), o segundo termo do lado

direito da Eq. 32-5 é zero e a Eq. 32-5 se reduz à Eq. 32-3, a lei de indução de Maxwell.

 

Teste 2

A figura mostra gráficos da amplitude E do campo elétrico em função do

tempo t para quatro campos elétricos uniformes, todos contidos em regiões

circulares como a da Fig. 32-5b. Coloque os campos na ordem decrescente

do módulo do campo magnético induzido na borda da região.

 

Exemplo 32.01 Campo magnético induzido por

um campo elétrico variável

Um capacitor de placas paralelas com placas circulares de raio R está sendo

carregado, como na Fig. 32-5a.

(a) Escreva uma expressão para o campo magnético a uma distância r do

eixo central das placas que seja válida para r ≤ R.

IDEIAS-CHAVE

Um campo magnético pode ser criado por uma corrente ou pela indução

produzida por um fluxo elétrico variável; os dois efeitos são levados em

conta na Eq. 32-5. Não existe corrente entre as placas do capacitor da Fig.

32-5, mas o fluxo elétrico está variando. Assim, a Eq. 32-5 se reduz a

 

Vamos calcular separadamente o lado esquerdo e o lado direito da equação.

Lado esquerdo da Eq. 32-6: Escolhemos uma amperiana circular de raio r ≤

R, como a da Fig. 32-5b, porque queremos calcular o campo magnético para

r ≤ R, ou seja, no espaço entre as placas do capacitor. O campo magnético

em todos os pontos da amperiana é tangente à curva, o que também acontece

com o elemento de comprimento . Assim, e são paralelos ou

antiparalelos em todos os pontos da curva. Para simplificar os cálculos,

vamos supor que sejam paralelos (essa opção não influi no resultado final).

Nesse caso, temos

 

Devido à simetria circular das placas, podemos também supor que o módulo

de é o mesmo ao longo de toda a curva. Assim, B pode ficar do lado de

fora da integral do lado direito da equação. A integral que resta é ∮ds, que é

simplesmente o perímetro 2πr da amperiana. O lado esquerdo da Eq. 32-6 é,

portanto, (B)(2πr).

Lado direito da Eq. 32-6: Vamos supor que o campo elétrico é uniforme

na região entre as placas do capacitor e perpendicular às placas. Nesse caso,

o fluxo elétrico Φ através da amperiana é EA, em que A é a parte da área E

envolvida pela amperiana que é atravessada pelo campo elétrico. Assim, o

lado direito da Eq. 32-6 é μ ε d(EA)/dt. 0 0

Combinação dos resultados: Substituindo os resultados para o lado

esquerdo e para o lado direito na Eq. 32-6, obtemos

Como A é constante, d(EA) = A dE; assim, temos

 

A parte da área A envolvida pela amperiana que é atravessada pelo campo

elétrico é a área total πr2 da curva, pois o raio r da amperiana é menor que o

raio R das placas (ou igual ao raio). Substituindo A por πr2 na Eq. 32-7 e

explicitando B, obtemos, para r ≤ R,

 

De acordo com a Eq. 32-8, no interior do capacitor, B aumenta linearmente

com a distância radial r, desde 0, no eixo central do capacitor, até um valor

máximo para r = R.

(b) Calcule o módulo B do campo magnético para r = R/5 = 11,0 mm e dE/dt

= 1,50 × 1012 V/m·s.

Cálculo: De acordo com o item (a), temos

 

(c) Escreva uma expressão para o campo magnético induzido no caso em

que r ≥ R.

Cálculo: O método usado é o mesmo do item (a), exceto pelo fato de que

agora usamos uma amperiana cujo raio r é maior que o raio R das placas

para calcular B do lado de fora do capacitor. Calculando o lado esquerdo e o

lado direito da Eq. 32-6, obtemos novamente a Eq. 32-7. Entretanto,

precisamos levar em conta uma diferença sutil: Como o campo elétrico

existe apenas na região entre as placas, a área A envolvida pela amperiana

que contém o campo elétrico agora não é a área total πr2 da espira, mas

apenas a área πR2 das placas.

Substituindo A por πR2 na Eq. 32-7 e explicitando B, obtemos, para r ≥

R, 32.14 Desenhar as linhas de campo magnético produzidas pela corrente de deslocamento em um capacitor