Oscilações em um Circuito LC : Análise Quantitativa

q corresponde a x, 1/C corresponde a k,

i corresponde a v e L corresponde a m.

 

Essas correspondências sugerem que, em um oscilador LC, o capacitor se comporta matematicamente como a mola de um sistema bloco-mola, e o indutor se comporta como o bloco.

Vimos no Módulo 15-1 que a frequência angular de oscilação de um sistema bloco-mola sem atrito é

 

As correspondências sugerem que, para determinar a frequência angular de oscilação de um circuito LC ideal (sem resistência), k deve ser substituído por 1/C e m por L, o que nos dá

 

Oscilações em um Circuito LC: Análise

Quantitativa

Vamos agora mostrar explicitamente que a Eq. 31-4 é a expressão correta para a frequência angular das oscilações em um circuito LC. Ao mesmo tempo, examinaremos mais de perto a analogia entre as oscilações de um circuito LC e de um sistema bloco-mola. Começamos por ampliar um pouco nosso tratamento anterior do oscilador mecânico bloco-mola.

 

O Oscilador Bloco-Mola

Analisamos as oscilações do sistema bloco-mola no Capítulo 15 em termos da transferência de energia, mas não chegamos a escrever a equação diferencial que governa essas oscilações; é o que vamos fazer agora.

A energia total U de um oscilador bloco-mola é dada, em qualquer instante de tempo, pela equação

 

em que U e U são, respectivamente, a energia cinética do bloco e a b m

energia potencial da mola. Se o atrito é desprezível, a energia total U não varia com o tempo, ou seja, dU/dt = 0. Assim, temos

 

Entretanto, v = dx/dt e dv/dt = d2x/dt2. Com essas substituições, a Eq. 31-6 se torna

 

A Eq. 31-7 é a equação diferencial a que obedecem às oscilações massa-mola sem atrito.

A solução geral da Eq. 31-7, ou seja, a função x(t) que descreve as oscilações, é (como vimos na Eq. 15-3)

 

em que X é a amplitude das oscilações mecânicas (representada por x no m Capítulo 15), ω é a frequência angular das oscilações e ϕ é uma constante de fase.

 

O Oscilador LC

Vamos agora analisar as oscilações de um circuito LC sem resistência, procedendo exatamente como fizemos no caso do oscilador bloco-mola. A energia total U presente em qualquer instante em um circuito LC oscilante é dada por

em que U é a energia armazenada no campo magnético do indutor e U é a B E energia armazenada no campo elétrico do capacitor. Como supusemos que a resistência do circuito é zero, nenhuma energia é transformada em energia térmica e U permanece constante, ou seja, dU/dt = 0. Assim, temos

 

 

Entretanto, i = dq/dt e di/dt = d2q/dt2. Com essas substituições, a Eq. 31-10 se torna

 

Essa é a equação diferencial que descreve as oscilações em um circuito LC

sem resistência. As Eqs. 31-11 e 31-7 têm exatamente a mesma forma matemática.

 

Oscilações de Carga e de Corrente

Quando duas equações diferenciais são matematicamente equivalentes, as soluções também são matematicamente equivalentes. Como q corresponde

a x, podemos escrever a solução geral da Eq. 31-11, por analogia com a Eq.

31-8, como

 

em que Q é a amplitude das variações de carga, ω é a frequência angular

das oscilações eletromagnéticas e ϕ é a constante de fase. Derivando a Eq.

31-12 em relação ao tempo, obtemos a corrente em um circuito LC: A amplitude I dessa corrente senoidal é

 

e, portanto, podemos reescrever a Eq. 31-13 na forma

 

Frequências Angulares

Podemos confirmar que a Eq. 31-12 é uma solução da Eq. 31-11

substituindo a Eq. 31-12 e sua derivada segunda em relação ao tempo na

Eq. 31-11. A derivada primeira da Eq. 31-12 é a Eq. 31-13. A derivada segunda é, portanto,

 

Substituindo q e d2q/dt2 por seus valores na Eq. 31-11, obtemos

 

Dividindo ambos os membros por Q cos(ωt + ϕ) e reagrupando os termos, obtemos

 

Assim, a Eq. 31-12 é realmente uma solução da Eq. 31-11, contanto que

. Observe que a expressão de ω é a mesma da Eq. 31-4, à qual

chegamos usando correspondências.

A constante de fase ϕ da Eq. 31-12 é determinada pelas condições que existem em um dado instante, como t = 0, por exemplo. De acordo com a

Eq. 31-12, se ϕ = 0 no instante t = 0, q = Q e, de acordo com a Eq. 31-13, i

= 0. Essas são as condições representadas na Fig. 31-1a. Oscilações da Energia Elétrica e Magnética

De acordo com as Eqs. 31-1 e 31-12, a energia elétrica armazenada no circuito LC no instante t é dada por

 

Figura 31-4 Energia magnética e energia elétrica armazenada no circuito da Fig. 31-1 em função do tempo. Observe que a soma das duas energias é constante. T é o período das oscilações.

 

De acordo com as Eqs. 31-2 e 31-13, a energia magnética armazenada é dada por

 

Substituindo ω por seu valor, dado pela Eq. 31-4, temos

 

A Fig. 31-4 mostra os gráficos de U (t) e U (t) para o caso de ϕ = 0. E B Observe que

 

1. O valor máximo tanto de U (t) como de U (t) é Q2/2C. E B

2. Em qualquer instante, a soma de U (t) e U (t) também é Q2/2C. E B

3. Quando U (t) é máxima, U (t) é mínima, e vice-versa. E B

 

Teste 2

Um capacitor em um circuito LC tem uma diferença de potencial

máxima de 17 V e uma energia máxima de 160 μJ. Quando o capacitor

tem uma diferença de potencial de 5 V e uma energia de 10 μJ, (a) qual

é a força eletromotriz entre os terminais do indutor e (b) qual a energia

armazenada no campo magnético?

 

Exemplo 31.01 Variação de potencial e taxa

de variação da corrente em um circuito LC

Um capacitor de 1,5 μF é carregado por uma bateria de 57 V, que, em

seguida, é desligada. No instante t = 0, um indutor de 12 mH é ligado

ao capacitor para formar um circuito LC (Fig. 31-1).

(a) Qual é a diferença de potencial v (t) entre os terminais do indutor L

em função do tempo?

 

IDEIAS-CHAVE

(1) A corrente e as diferenças de potencial do circuito (a diferença de

potencial do capacitor e a diferença de potencial do indutor) variam de

forma senoidal. (2) Podemos aplicar a um circuito oscilante a mesma

regra das malhas que aplicamos a circuitos não oscilantes no Capítulo

27.

Cálculos: Aplicando a regra das malhas ao circuito Fig. 31-1, temos,

para qualquer instante de tempo t,

ou seja, como a diferença de potencial para o circuito como um todo é

zero, a diferença de potencial v do indutor é sempre igual à diferença L

de potencial v do capacitor. Assim, podemos calcular v (t) a partir de C L

v (t) e podemos calcular v (t) a partir de q(t) usando a Eq. 25-1 (q = C C

CV).

Como a diferença de potencial v (t) é máxima no instante t = 0 C

em que as oscilações começam, a carga q do capacitor também é

máxima nesse instante. Assim, a constante de fase ϕ é zero e a Eq. 31-

12 nos dá

 

[Note que a função cosseno realmente passa por um máximo (= 1) para

t = 0, o que nos dá q = Q.] Para calcular a diferença de potencial v (t), C

dividimos ambos os membros da Eq. 31-19 por C para obter

 

e usamos a Eq. 25-1 para escrever

 

Aqui, V é a amplitude das oscilações da diferença de potencial v do C C

capacitor.

De acordo com a Eq. 31-18, v = v ; portanto, C L

 

Podemos calcular o lado direito da Eq. 31-21 observando que a

amplitude V é igual à diferença de potencial inicial (máxima) de 57 V C

entre os terminais do capacitor. Em seguida, usamos a Eq. 31-4 para

calcular ω: