Uma Visão Microscópica da Lei de Ohm

Um material obedece à lei de Ohm se a resistividade do material, dentro de

certos limites, não depende do módulo nem do sentido do campo elétrico

aplicado.

Todos os materiais homogêneos, sejam eles condutores, como o cobre, ou semicondutores, como o silício puro ou dopado com impurezas, obedecem à lei de Ohm dentro de uma faixa de valores do campo elétrico aplicado. Para valores elevados do campo elétrico, sempre são observados desvios em relação à lei de Ohm.

Teste 4

A tabela mostra a corrente i (em ampères) em dois componentes para vários

valores da diferença de potencial V (em volts). Determine, a partir desses

dados, qual é o componente que não obedece à lei de Ohm.

Dispositivo 1 Dispositivo 2

V i V i

2,00 4,50 2,00 1,50

3,00 6,75 3,00 2,20

4,00 9,00 4,00 2,80

Uma Visão Microscópica da Lei de Ohm

Para verificar por que alguns materiais obedecem à lei de Ohm, precisamos examinar os detalhes do processo de condução de eletricidade a nível atômico. No momento, vamos considerar apenas a condução em materiais metálicos, como o cobre, por exemplo. Nossa análise será baseada no modelo de elétrons livres, no qual supomos que os elétrons de condução de um metal estão livres para vagar por toda a amostra, como as moléculas de gás no interior de um recipiente fechado. Vamos supor também que os elétrons não colidem uns com os outros, mas apenas com os átomos do metal.

De acordo com a física clássica, os elétrons de condução deveriam apresentar uma distribuição maxwelliana de velocidades como a das moléculas de um gás (Módulo 19-6) e, portanto, a velocidade média dos elétrons deveria variar com a temperatura. Acontece que os movimentos dos elétrons não são governados pelas leis da física clássica e sim pelas leis da física quântica. Por isso, uma hipótese que está muito mais próxima da realidade é a de que os elétrons de condução em um metal se movem com uma única velocidade efetiva v e que essa velocidade não ef depende da temperatura. No caso do cobre, v ≈ 1,6 × 106 m/s. ef

Quando aplicamos um campo elétrico a uma amostra metálica, os elétrons modificam ligeiramente seus movimentos aleatórios e passam a derivar lentamente, no sentido oposto ao do campo, com uma velocidade de deriva v d. A velocidade de deriva em um condutor metálico é da ordem de 10−7 m/s, muito menor, portanto,

que a velocidade efetiva, que é da ordem de 106 m/s. A Fig. 26-12 ilustra a relação entre as duas velocidades. As retas cinzentas mostram um possível caminho aleatório de um elétron na ausência de um campo elétrico aplicado; o elétron se move de A para B, sofrendo seis colisões no percurso. As retas verdes mostram qual poderia ser o mesmo caminho na presença de um campo elétrico . Vemos que o

elétron deriva para a direita e vai terminar no ponto B′ em vez de B. A Fig. 26-12 foi desenhada para v ≈ 0,02v . Como, na verdade, a relação é v ≈ (10−13)v , a d ef d ef deriva mostrada na figura está grandemente exagerada.

O movimento dos elétrons de condução na presença de um campo elétrico é, portanto, um movimento em alta velocidade (a velocidade térmica), em direções aleatórias por causa de colisões, superposto a um movimento em uma direção definida, produzido pelo campo elétrico. Para um grande número de elétrons livres, a média dos movimentos em direções aleatórias é zero e não contribui para a velocidade de deriva, que deve apenas ao efeito do campo elétrico sobre os elétrons.

Se um elétron de massa m é submetido a um campo elétrico de módulo E, o elétron sofre uma aceleração dada pela segunda lei de Newton:

A natureza das colisões experimentadas pelos elétrons de condução é tal que, depois de uma colisão típica, o elétron perde, por assim dizer, a memória da velocidade de deriva que possuía antes da colisão. Em outras palavras, os elétrons passam a se mover em uma direção aleatória após cada colisão. No intervalo de tempo médio τ entre colisões, um elétron adquire uma velocidade de deriva v = aτ. d Supondo que os elétrons se movem de forma independente, podemos concluir que, em qualquer instante, os elétrons possuem, em média, uma velocidade de deriva vd

= aτ. Nesse caso, de acordo com a Eq. 26-18,

Combinando esse resultado com o módulo da Eq. 26-7 ( = ne ), obtemos

que pode ser escrita na forma

Combinando a Eq. 26-21 com o módulo da Eq. 26-11 ( = ρ ), obtemos

A Eq. 26-22 pode ser considerada uma demonstração de que os metais obedecem à lei de Ohm se for possível provar que, no caso dos metais, a resistividade ρ não depende da intensidade do campo elétrico aplicado. Considere as grandezas que

aparecem na Eq. 26-22. A não ser em casos extremos, podemos supor que n, o número de elétrons de condução por unidade de volume, não depende da intensidade do campo aplicado. Como m e e são constantes, resta apenas mostrar que τ, o tempo médio entre colisões (ou tempo livre médio), também não depende da intensidade do campo aplicado. Acontece que τ é inversamente proporcional à velocidade efetiva v dos elétrons, que, como vimos, é muito maior que a ef

velocidade de deriva v causada pelo campo. Isso significa que τ praticamente não é d

afetado pela intensidade do campo aplicado. Assim, o lado direito da Eq. 26-22 não varia com a temperatura e, portanto, os metais obedecem à lei de Ohm.

Figura 26-12 As retas cinzentas mostram um possível caminho aleatório de um elétron de A a B na ausência de um campo elétrico aplicado, sofrendo seis colisões no percurso; as retas verdes mostram qual poderia ser o mesmo caminho na presença de um campo elétrico . Observe o deslocamento, para a direita, do ponto final da trajetória, no sentido contrário ao do campo elétrico . (Na verdade, as retas verdes deveriam ser ligeiramente curvas, para representar as trajetórias parabólicas do elétron entre colisões, por causa da influência do campo elétrico.)

Exemplo 26-05 Tempo livre médio e livre caminho

médio

(a) Qual é o tempo médio entre colisões τ para os elétrons de condução do

cobre?

IDEIAS-CHAVE

O tempo médio entre colisões τ no cobre é aproximadamente constante e, em

particular, não depende do valor do campo elétrico aplicado a uma amostra de

cobre. Assim, não precisamos considerar um valor em particular do campo

elétrico aplicado. Por outro lado, como a resistividade ρ do cobre depende de

τ, podemos determinar o tempo médio entre colisões a partir da Eq. 26-22 (ρ =

m/e2nτ).

Cálculos: De acordo com a Eq. 26-22,

O valor de n, o número de elétrons de condução do cobre por unidade de

volume, é 8,49 × 1028 m−3. O valor de ρ aparece na Tabela 26-1. O

denominador é, portanto,

(8,49 × 1028 m–3)(1,6 × 10–19 C)2(1,69 × 10–8 Ω · m) = 3,67 × 10–17 C2·Ω/m2 =

3,67 × 10–17 kg/s,

em que as unidades foram convertidas da seguinte forma:

Usando esses resultados e substituindo a massa m do elétron por seu valor,

obtemos