Circuitos RL

30.28 Determinar as equações da diferença de potencial do resistor em função do tempo, V (t), e da diferença de potencial do indutor em função do R

tempo, V (t), para um circuito em que a corrente está aumentando. L

30.29 Calcular a constante de tempo indutiva τ . L

30.30 Desenhar o diagrama esquemático de um circuito RL no qual a corrente está diminuindo. 30.31 Escrever uma equação de malha (uma equação diferencial) para um circuito RL no qual a corrente está diminuindo. 30.32 Determinar a equação da corrente em função do tempo, i(t), para um circuito RL em que a corrente está diminuindo. 30.33 Determinar as equações da diferença de potencial do resistor em função do tempo, V (t), e da diferença de potencial do indutor em função do R

tempo, V (t), para um circuito em que a corrente está diminuindo. L

30.34 No caso de um circuito RL, saber qual é a corrente no indutor e a diferença de potencial do indutor no momento em que a corrente começa a

circular (condição inicial) e depois que o equilíbrio é atingido (condição final).

 

Ideias-Chave

• Se uma fonte de força eletromotriz é introduzida em um circuito de uma malha que contém uma resistência R e uma indutância L, a corrente aumenta até atingir um valor de equilíbrio /R. A variação da corrente com o tempo é dada pela equação

 

em que τL = L/R é o parâmetro, conhecido como constante de tempo indutiva do circuito, que controla a taxa de aumento da corrente com o tempo.

• Quando a fonte de força eletromotriz é removida, a corrente diminui até se anular. A variação da corrente com o tempo é dada por

 

em que i é o valor da corrente no instante em que a força eletromotriz é removida. 0

 

Circuitos RL

Como vimos no Módulo 27-4, quando introduzimos bruscamente uma força eletromotriz em um circuito com uma única malha que contém um resistor R e um capacitor C inicialmente descarregado, a carga do capacitor não aumenta instantaneamente para o valor final C , mas tende exponencialmente para esse valor.

 

A taxa de aumento da carga do capacitor é determinada pela constante de tempo capacitiva τ C, definida pela

Eq. 27-36, como

 

Quando removemos bruscamente a força eletromotriz do mesmo circuito, a carga do capacitor não diminui

instantaneamente para zero, mas tende exponencialmente a zero:

 

A constante de tempo τ é a mesma para a carga e para a descarga do capacitor. C

 

Figura 30-15 Um circuito RL. Quando a chave S é colocada na posição a, a corrente começa a aumentar a partir de zero e tende a um valor final /R.

A corrente apresenta um comportamento análogo quando introduzimos (ou removemos) uma força

eletromotriz em um circuito que contém um resistor R e um indutor L. Quando a chave S da Fig. 30-15 é colocada na posição a, por exemplo, a corrente no resistor começa a aumentar. Se o indutor não estivesse presente, a corrente atingiria quase instantaneamente o valor final /R. A presença do indutor faz com que uma força eletromotriz autoinduzida apareça no circuito. De acordo com a lei de Lenz, a força eletromotriz se opõe ao aumento da corrente, o que significa que tem o sentido oposto ao da força eletromotriz da fonte. Assim, a corrente no resistor responde à diferença entre duas forças eletromotrizes: uma força eletromotriz constante produzida pela fonte e uma força eletromotriz variável (= −L di/dt) produzida pela autoindução. Enquanto está presente, a corrente é menor que /R.

Com o passar do tempo, a taxa de aumento da corrente diminui e o valor absoluto da força eletromotriz

autoinduzida, que é proporcional a di/dt, também diminui. Assim, a corrente tende assintoticamente a /R.

Esses resultados podem ser generalizados da seguinte forma:

 

Inicialmente, um indutor se opõe a qualquer variação da corrente que o atravessa. Após um tempo

suficientemente longo, o indutor se comporta como um fio comum.

 

Vamos agora analisar quantitativamente a mesma situação. Com a chave S da Fig. 30-15 na posição a, o

circuito é equivalente ao da Fig. 30-16. Vamos aplicar a regra das malhas, começando no ponto x da figura e nos deslocando no sentido horário, o mesmo da corrente i.

1. Resistor. Como atravessamos o resistor no sentido da corrente i, o potencial elétrico diminui de iR. Assim,

quando passamos do ponto x para o ponto y, o potencial varia de −iR.

2. Indutor. Como a corrente i está variando, existe uma força eletromotriz autoinduzida no indutor. De

acordo com a Eq. 30-35, o valor absoluto de é L di/dt. O sentido de é para cima na Fig. 30-16 porque o

sentido da corrente i é para baixo no indutor, e a corrente está aumentando. Assim, quando passamos do ponto

y para o ponto z, atravessando o indutor no sentido contrário ao de , o potencial varia de −L di/dt.

3. Fonte. Quando passamos do ponto z para o ponto x, voltando ao ponto inicial, o potencial varia de +

devido à força eletromotriz da fonte.

De acordo com a regra das malhas, temos

 

Figura 30-16 O circuito da Fig. 30-15 com a chave na posição a. Aplicamos a regra das malhas no sentido horário, começando no ponto x.

A Eq. 30-39 é uma equação diferencial que envolve a variável i e sua derivada primeira di/dt. A solução deve ser

uma função i(t) tal que, quando i(t) e sua derivada primeira são substituídas na Eq. 30-39, a equação e a condição inicial i(0) = 0 são satisfeitas.

A Eq. 30-39 e sua condição inicial têm a mesma forma que a equação de um circuito RC, Eq. 27-32, com i no

lugar de q, L no lugar de R, e R no lugar de 1/C. A solução da Eq. 30-39 tem, portanto, a forma da Eq. 27-33 com as mesmas substituições, o que nos dá

que pode ser escrita na forma

 

em que τ L, a constante de tempo indutiva, é dada por

 

Vamos examinar a Eq. 30-41 em duas situações particulares: no instante em que a chave é fechada (ou seja,

para t = 0) e um longo tempo após a chave ter sido fechada (ou seja, para t → ∞). Fazendo t = 0 na Eq. 30-41, a

exponencial se torna e−0 = 1. Assim, de acordo com a Eq. 30-41, a corrente é 0 no instante inicial. Fazendo t → ∞,

a exponencial se torna e−∞ = 0. Assim, de acordo com a Eq. 30-41, para longos tempos a corrente tende ao valor final /R.

Podemos também examinar as diferenças de potencial no circuito. Assim, por exemplo, a Fig. 30-17 mostra a

variação, com o tempo, das diferenças de potencial VR (= iR) no resistor e VL (= L di/dt) no indutor para valores

particulares de , L e R. A figura correspondente para um circuito RC é a Fig. 27-16.

Para mostrar que a constante τ L (= L/R) tem dimensão de tempo, usamos as seguintes equivalências:

 

O primeiro fator entre parênteses é um fator de conversão baseado na Eq. 30-35, e o segundo é um fator de

conversão baseado na relação V = iR.

Constante de Tempo. Para compreender o significado físico da constante de tempo, podemos usar a Eq. 30-

41. Fazendo t = τ = L/R nessa equação, obtemos L

 

Assim, a constante de tempo τ é o tempo necessário para que a corrente no circuito atinja 63% do valor final /R. L

Como a diferença de potencial VR do resistor é proporcional à corrente i, o gráfico da corrente em função do tempo

tem a mesma forma que o gráfico de VR da Fig. 30-17a.

 

Figura 30-17 Variação com o tempo (a) de V , a diferença de potencial entre os terminais do resistor da Fig. 30-16; (b) de V , a diferença de potencial R L entre os terminais do indutor. Os triângulos representam intervalos sucessivos de uma constante de tempo indutiva τ = L/R. As curvas foram plotadas L para R = 2000 Ω, L = 4,0 H e = 10 V.

Diminuição da Corrente. Se a chave S da Fig. 30-15 for mantida na posição a por um tempo suficiente para

que a corrente atinja o valor /R e depois for deslocada para a posição b, o efeito será o mesmo que remover a fonte do circuito. (Para que não haja uma variação brusca de corrente, é preciso que a ligação com o ponto b seja feita antes que a ligação com o ponto a seja interrompida; uma chave capaz de realizar esse tipo de operação é conhecida como chave make-before-break.) Na ausência de uma fonte, a corrente no resistor cai para zero, mas não de forma instantânea. A equação diferencial que governa a diminuição da corrente pode ser obtida fazendo = 0

na Eq. 30-39:

 

Por analogia com as Eqs. 27-38 e 27-39, a solução da Eq. 30-44 que satisfaz a condição inicial i(0) = i = /R é 0

 

Assim, tanto o aumento da corrente (veja a Eq. 30-41), como a diminuição da corrente (veja a Eq. 30-45) em um circuito RL são governados pela mesma constante de tempo indutiva τL.

Usamos i0 na Eq. 30-45 para representar a corrente no instante t = 0. Nesse caso, o valor da corrente é /R,

mas poderia ser qualquer outro valor inicial.

 

Teste 6

A figura mostra três circuitos com fontes, indutores e resistores iguais. Coloque os circuitos na ordem

decrescente da corrente que atravessa a fonte (a) logo depois que a chave é fechada e (b) muito tempo depois

de a chave ter sido fechada. (Se o leitor tiver dificuldade para responder, leia o exemplo a seguir e tente

novamente.)

 

Exemplo 30.05 Circuito RL, imediatamente após o fechamento de uma

chave e muito tempo depois

A Fig. 30-18a mostra um circuito que contém três resistores iguais, de resistência R = 9,0 Ω, dois indutores

iguais, de indutância L = 2,0 mH, e uma fonte ideal de força eletromotriz = 18 V.

(a) Qual é a corrente i que atravessa a fonte no instante em que a chave é fechada?

 

IDEIA-CHAVE

No instante em que a chave é fechada, os indutores se opõem à variação da corrente que os atravessa.

Cálculos: Como antes de a chave ser fechada a corrente nos indutores é zero, a corrente continua a ser zero

logo depois. Assim, logo depois que a chave é fechada, os indutores se comportam como fios interrompidos,

como mostra a Fig. 30-18b. Temos, portanto, um circuito de uma malha, no qual, de acordo com a regra das

malhas,

 

Substituindo os valores dados, obtemos