Potencial Produzido por uma Partícula Carregada

usando uma soma algébrica dos potenciais produzidos separadamente pelas cargas envolvidas e

não uma soma vetorial, como no caso do campo elétrico.

24.18 Desenhar as superfícies equipotenciais associadas a uma partícula carregada.

Ideias-Chave

• O potencial elétrico produzido por uma partícula carregada a uma distância r da partícula é dado por

em que o potencial V tem o mesmo sinal que a carga q. • O potencial elétrico produzido por um conjunto de partículas carregadas é dado por

• Isso significa que o potencial é a soma algébrica dos potenciais produzidos separadamente pelas cargas envolvidas e não uma soma vetorial, como no caso do campo elétrico.

Potencial Produzido por uma Partícula Carregada

Vamos agora usar a Eq. 24-18 para obter uma expressão para o potencial elétrico V criado no espaço por uma carga pontual, tomando como referência um potencial zero no infinito. Considere um ponto P situado a

uma distância R de uma partícula fixa de carga positiva q (Fig. 24-9). Para

usar a Eq. 24-18, imaginamos que uma carga de prova q é deslocada do 0 ponto P até o infinito. Como a trajetória seguida pela carga de prova é irrelevante, podemos escolher a mais simples: uma reta que liga a partícula fixa ao ponto P e se estende até o infinito.

Para usar a Eq. 24-18, precisamos calcular o produto escalar

O campo elétrico da Fig. 24-9 é radial e aponta para longe da partícula fixa; assim, o deslocamento elementar da partícula de prova tem a mesma direção que em todos os pontos da trajetória escolhida. Isso

significa que, na Eq. 24-22, θ = 0 e cos θ = 1. Como a trajetória é radial,

podemos fazer ds = dr. Nesse caso, a Eq. 24-18 se torna

em que usamos os limites r = R e r = ∞. Vamos fazer V = V(R) = V e V = i f i f V(∞) = 0. O campo E no ponto onde se encontra a carga de prova é dado

pela Eq. 22-3:

Com essas substituições, a Eq. 24-23 se torna

Figura 24-9 A partícula de carga positiva q produz um campo elétrico e um potencial elétrico V no ponto P. Calculamos o potencial deslocando uma carga de prova q do ponto P até o infinito. A 0 figura mostra a carga de prova a uma distância r da carga pontual, durante um deslocamento elementar .

Figura 24-10 Gráfico gerado em computador do potencial elétrico V(r) produzido por uma carga positiva situada na origem do plano xy. O potencial nos pontos do plano xy está plotado no eixo vertical. (As curvas do potencial ao longo de direções paralelas aos eixos x e y foram traçadas para

facilitar a visualização.) De acordo com a Eq. 24-26, V → ∞ para r → 0, embora essa tendência não seja visível no gráfico.

Explicitando V e substituindo R por r, temos

como o potencial elétrico V produzido por uma partícula de carga q a uma distância r da partícula.

Embora a Eq. 24-26 tenha sido demonstrada para uma partícula de carga positiva, a demonstração vale também para uma partícula de carga negativa, caso em que q é uma grandeza negativa. Observe que o sinal de V é igual ao sinal de q:

Uma partícula de carga positiva produz um potencial elétrico positivo;

uma partícula de carga negativa produz um potencial elétrico negativo.

A Fig. 24-10 mostra um gráfico gerado em computador da Eq. 24-26 para uma partícula de carga positiva; o valor absoluto de V está plotado no eixo vertical. Note que o valor absoluto de V aumenta rapidamente quando r

se aproxima de zero. Na verdade, de acordo com a Eq. 24-26, V → ∞ quando r → 0, embora essa tendência não seja visível no gráfico.

A Eq. 24-26 também pode ser usada para calcular o potencial elétrico do lado de fora ou na superfície de uma distribuição de cargas com simetria esférica. Podemos provar esse fato usando um dos teoremas de cascas dos Módulos 21-1 e 23-6 para substituir a distribuição esférica por uma carga pontual de mesmo valor situada no centro da distribuição. Isso mostra que a

Eq. 24-26 pode ser empregada, contanto que não se deseje calcular um ponto no interior da distribuição.