Aplicações da Lei de Gauss: Simetria Planar

Ideias-Chave

• O campo elétrico produzido por uma placa isolante infinita com uma densidade superficial de carga σ é perpendicular ao plano da placa e tem um módulo proporcional à densidade superficial de carga da placa:

 

• O campo elétrico entre duas placas condutoras carregadas é perpendicular ao plano das placas e tem um módulo proporcional à densidade superficial de carga das placas:

 

Aplicações da Lei de Gauss: Simetria Planar

 

Placa Isolante

A Fig. 23-17 mostra uma parte de uma placa fina, infinita, isolante, com uma densidade superficial de carga positiva σ. Uma folha de plástico, com uma das superfícies uniformemente carregada, pode ser um bom modelo. Vamos calcular o campo elétrico a uma distância r da placa.

Uma superfície gaussiana adequada para esse tipo de problema é um cilindro com o eixo perpendicular à placa e com uma base de cada lado da placa, como mostra a figura. Por simetria, é perpendicular à placa e, portanto, às bases do cilindro. Além disso, como a carga é positiva, aponta para longe da placa, e, portanto, as linhas de campo elétrico atravessam as duas bases do cilindro no sentido de dentro para fora. Como as linhas de campo são paralelas à superfície lateral do cilindro, o produto . d é nulo nessa parte da superfície gaussiana. Assim, . d é igual a E dA nas bases do cilindro e é igual a zero na superfície lateral. Nesse caso, a lei de Gauss,

nos dá

 

Figura 23-17 (a) Vista em perspectiva e (b) vista lateral de uma pequena parte de uma placa de grande extensão com uma carga positiva na superfície. Uma superfície gaussiana cilíndrica, com o eixo perpendicular à placa e uma base de cada lado da placa, envolve parte das cargas.

 

em que σA é a carga envolvida pela superfície gaussiana. Explicitando E, obtemos

 

Como estamos considerando uma placa infinita com uma densidade de carga uniforme, esse resultado é válido para qualquer ponto que esteja a

uma distância finita da placa. A Eq. 23-13 é igual à Eq. 22-27, que foi obtida por integração das componentes do campo elétrico produzido por elementos de carga.

 

Duas Placas Condutoras

A Fig. 23-18a mostra uma vista de perfil de uma placa condutora fina, infinita, com um excesso de carga positiva. Como vimos no Módulo 23-3, a carga em excesso está na superfície da placa. Como a placa é fina e muito extensa, podemos supor que praticamente toda a carga em excesso está nas duas faces maiores da placa.

Se não existe um campo elétrico externo para forçar as cargas positivas a assumirem determinada distribuição, as cargas se distribuem uniformemente nas duas faces com uma densidade superficial de carga σ . 1

De acordo com a Eq. 23-11, essas cargas criam, nas proximidades da superfície, um campo elétrico de módulo E = σ /ε . Como a carga em 1 0 excesso é positiva, o campo aponta para longe da placa.

A Fig. 23-18b mostra uma placa do mesmo tipo com um excesso de carga negativa e uma densidade superficial de carga com o mesmo valor absoluto σ . A única diferença é que, agora, o campo aponta na direção da 1

placa.

Suponha que as placas das Figs. 23-18a e 23-18b sejam colocadas lado

a lado (Fig. 23-18c). Como as placas são condutoras, quando as aproximamos, as cargas em excesso de uma placa atraem as cargas em excesso da outra, e todas as cargas em excesso se concentram na superfície

interna das placas, como mostra a Fig. 23-18c. Como existe agora uma quantidade de carga duas vezes maior nas superfícies internas, a nova densidade superficial de carga (que vamos chamar de σ) nas faces internas é 2σ . Assim, o módulo do campo elétrico em qualquer ponto entre as placas 1

é dado por

 

Esse campo aponta para longe da placa positiva e na direção da placa negativa. Como não existe excesso de carga nas faces externas, o campo elétrico do lado de fora das placas é zero.

Como as cargas das placas se moveram quando as placas foram

aproximadas, a Fig. 23-18c não é a superposição das Figs. 23-18a e 23-18b; em outras palavras, a distribuição de carga no sistema de duas placas não é simplesmente a soma das distribuições de carga das placas isoladas.

A razão pela qual nos damos ao trabalho de discutir situações tão pouco realistas como os campos produzidos por uma placa infinita carregada e um par de placas infinitas carregadas é que a análise de situações “infinitas” permite obter boas aproximações para problemas reais.

Assim, a Eq. 23-13 vale também para uma placa isolante finita, contanto que estejamos lidando com pontos próximos da placa e razoavelmente

distantes das bordas. A Eq. 23-14 se aplica a um par de placas condutoras finitas, contanto que não estejamos lidando com pontos muito próximos das bordas. O problema das bordas de uma placa, e o motivo pelo qual procuramos, na medida do possível, nos manter afastados delas, é que, perto de uma borda, não podemos usar a simetria planar para determinar as expressões dos campos. Perto da borda, as linhas de campo são curvas (é o chamado efeito de borda) e os campos elétricos são muito difíceis de expressar matematicamente.

 

Figura 23-18 (a) Uma placa condutora fina, infinita, com um excesso de carga positiva. (b) Uma placa do mesmo tipo com um excesso de carga negativa. (c) As duas placas colocadas lado a lado.

 

Exemplo 23.07 Campo elétrico nas

proximidades de duas placas isolantes carregadas

paralelas

A Fig. 23-19a mostra partes de duas placas de grande extensão,

isolantes, paralelas, com uma carga uniforme do lado esquerdo. Os

valores das densidades superficiais de carga são σ = 6,8 μC/m2 para a (+)

placa positivamente carregada e σ = 4,3 μC/m2 para a placa (–)

negativamente carregada.

Determine o campo elétrico (a) à esquerda das placas, (b) entre

as placas e (c) à direita das placas.

 

IDEIA-CHAVE

Como as cargas estão fixas (as placas são isolantes), podemos

determinar os campos elétricos produzidos pelas placas da Fig. 23-19a

(1) calculando o campo de cada placa como se a outra não existisse e

(2) somando algebricamente os resultados. (Não há necessidade de

usar uma soma vetorial porque os campos são paralelos.)

Cálculos: Em qualquer ponto, o campo elétrico produzido pela (+)

placa positiva aponta para longe da placa e, de acordo com a Eq. 23-

13, tem o módulo dado por

 

Em qualquer ponto, o campo elétrico produzido pela placa (–)

negativa aponta na direção da placa e tem um módulo dado por

 

A Fig. 23-19b mostra os campos criados pelas placas à esquerda das

placas (E), entre as placas (C) e à direita das placas (D).

Os campos resultantes nas três regiões podem ser obtidos usando

o princípio de superposição. À esquerda, o módulo do campo é

Figura 23-19 (a) Duas placas de grande extensão, isolantes,

paralelas, com uma carga uniforme do lado esquerdo. (b) Campos

elétricos criados pelas duas placas. (c) Campo total criado pelas duas

placas, obtido por superposição.

 

Como E é maior que E , o campo elétrico total nessa região (+) (–) E

aponta para a esquerda, como mostra a Fig. 23-19c. À direita das

placas, o campo elétrico tem o mesmo módulo, mas aponta para a D

direita, como mostra a Fig. 23-19c.

Entre as placas, os dois campos se somam e temos

 

O campo elétrico aponta para a direita. C