Lei de Gauss

23-2 LEI DE GAUSS

Objetivos do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...

23.09 Usar a lei de Gauss para relacionar o fluxo total Φ através de uma superfície fechada à carga

total q envolvida pela superfície. env

23.10 Saber que o sinal algébrico da carga envolvida corresponde ao sentido (para fora ou para

dentro) do fluxo através da superfície gaussiana.

23.11 Saber que a carga do lado de fora de uma superfície gaussiana não contribui para o fluxo total

através da superfície fechada.

23.12 Calcular o módulo do campo elétrico produzido por uma partícula carregada usando a lei de

Gauss.

23.13 Saber que, no caso de uma partícula carregada ou uma esfera uniformemente carregada, a lei

de Gauss pode ser aplicada usando uma superfície gaussiana que é uma esfera concêntrica com a

carga ou com a esfera carregada.

Ideias-Chave

• A lei de Gauss relaciona o fluxo total Φ através de uma superfície fechada à carga total qenv envolvida pela superfície:

ε Φ = q (lei de Gauss). 0 env

• A lei de Gauss também pode ser escrita em termos do campo elétrico que atravessa a superfície gaussiana:

Lei de Gauss

A lei de Gauss relaciona o fluxo total Φ de um campo elétrico através de uma superfície fechada (superfície gaussiana) à carga total q envolvida env

pela superfície. Em notação matemática,

Usando a Eq. 23-4, a definição de fluxo, podemos escrever a lei de Gauss na forma

As Eqs. 23-6 e 23-7 são válidas somente se, na região envolvida pela superfície gaussiana, existe apenas vácuo ou ar (que, para efeitos práticos,

quase sempre pode ser considerado equivalente ao vácuo). No Capítulo 25, uma versão modificada da lei de Gauss será usada para analisar situações em que a região contém materiais como mica, óleo e vidro.

Nas Eqs. 23-6 e 23-7, a carga total q é a soma algébrica das cargas env positivas e negativas envolvidas pela superfície gaussiana, e pode ser positiva, negativa ou nula. Incluímos o sinal, em vez de usar o valor absoluto da carga envolvida, porque o sinal nos diz alguma coisa a respeito do fluxo total através da superfície gaussiana: Se q é positiva, o fluxo é env

para fora; se q é negativa, o fluxo é para dentro. env

A carga do lado de fora da superfície, mesmo que seja muito grande ou esteja muito próxima, não é incluída no termo q da lei de Gauss. A env

localização das cargas no interior da superfície de Gauss é irrelevante; as

únicas coisas que importam para calcular o lado direito das Eqs. 23-6 e 23-7 são o valor absoluto e o sinal da carga total envolvida. A grandeza do

lado esquerdo da Eq. 23-7, por outro lado, é o campo elétrico produzido por todas as cargas, tanto as que estão do lado de dentro da superfície de Gauss como as que estão do lado de fora. Isso pode parecer incoerente, mas é preciso ter em mente o seguinte fato: A contribuição do campo elétrico produzido por uma carga do lado de fora da superfície gaussiana para o fluxo através da superfície é sempre nula, já que o número de linhas de campo que entram na superfície devido a essa carga é igual ao número de linhas que saem.

Vamos aplicar essas ideias à Fig. 23-8, que mostra duas cargas pontuais, de mesmo valor absoluto e sinais opostos, e as linhas de campo que descrevem os campos elétricos criados pelas cargas no espaço em torno das cargas. A figura mostra também quatro superfícies gaussianas vistas de perfil. Vamos discuti-las uma a uma.

Figura 23-8 Duas cargas pontuais, de mesmo valor absoluto e sinais opostos, e as linhas de campo que representam o campo elétrico. Quatro superfícies gaussianas são vistas de perfil. A superfície S1 envolve a carga positiva. A superfície S envolve a carga negativa. A superfície S não envolve 2 3 nenhuma carga. A superfície S envolve as duas cargas. 4

Superfície S . O campo elétrico aponta para fora em todos os pontos da 1

superfície. Isso significa que o fluxo do campo elétrico através da

superfície é positivo e, de acordo com a lei de Gauss, a carga envolvida

pela superfície também é positiva. (Em outras palavras, se Φ é positivo

na Eq. 23-6, q deve ser positiva.) env Superfície S . O campo elétrico aponta para dentro em todos os pontos da 2

superfície. Isso significa que o fluxo do campo elétrico é negativo e, de

acordo com a lei de Gauss, a carga envolvida também é negativa.

Superfície S . De acordo com a lei de Gauss, como a superfície não 3

envolve nenhuma carga, o fluxo do campo elétrico através da superfície

é nulo. Isso é razoável, já que todas as linhas de campo que entram na

superfície pela parte de cima saem pela parte de baixo.

Superfície S . A carga total envolvida pela superfície é nula, já que as 4

cargas envolvidas pela superfície têm o mesmo valor absoluto e sinais

opostos. Assim, de acordo com a lei de Gauss, o fluxo do campo elétrico

através dessa superfície deve ser zero. Isso é razoável, já que o número

de linhas de campo que entram na superfície pela parte de baixo é igual

ao número de linhas de campo que saem pela parte de cima.

O que aconteceria se colocássemos uma carga gigantesca Q nas

proximidades da superfície S da Fig. 23-8? A configuração de linhas de 4

campo certamente seria modificada, mas o fluxo total através das quatro superfícies gaussianas continuaria o mesmo. Isso é uma consequência do fato de que todas as linhas de campo produzidas pela carga Q atravessariam totalmente as quatro superfícies gaussianas sem contribuir para o fluxo total. O valor de Q não apareceria de nenhuma forma na lei de Gauss, já que Q estaria do lado de fora das quatro superfícies gaussianas que estamos discutindo.

Teste 2

A figura mostra três situações nas quais um cubo gaussiano está

imerso em um campo elétrico. As setas e valores indicam a direção das

linhas de campo e o módulo (em N · m2/C) do fluxo que atravessa as

seis faces de cada cubo. (As setas mais claras estão associadas às faces

ocultas.) Em que situação o cubo envolve (a) uma carga total positiva,

(b) uma carga total negativa e (c) uma carga total nula?