Potência em Circuitos de Corrente Alternada

No circuito RLC da Fig. 31-7, a fonte de energia é o gerador de corrente alternada. Parte da energia fornecida pelo gerador é armazenada no campo elétrico do capacitor, parte é armazenada no campo magnético do indutor e parte é dissipada como energia térmica no resistor. No regime estacionário, isto é, depois de transcorrido um tempo suficiente para que o circuito se estabilize, a energia média armazenada no capacitor e no indutor juntos permanece constante. A transferência líquida de energia é, portanto, do gerador para o resistor, onde a energia eletromagnética é convertida em energia térmica.

 

Figura 31-17 (a) Gráfico de sen θ em função de θ. O valor médio da função ao longo de um ciclo é zero. ( 2 b ) Gráfico de sen θ em função de θ. O valor médio da função ao longo de um ciclo é 1/2.

 

A taxa instantânea com a qual a energia é dissipada no resistor pode

ser escrita, com a ajuda das Eqs. 26-27 e 31-29, na forma

 

A taxa média com a qual a energia é dissipada no resistor é a média no

tempo da Eq. 31-68. Em um ciclo completo, o valor médio de sen θ é zero

(Fig. 31-17a), mas o valor médio de sen2 θ é 1/2 (Fig. 31-17b). (Observe na

Fig. 31-17b que as partes sombreadas sob a curva, que ficam acima da reta horizontal +1/2, completam exatamente os espaços vazios que ficam abaixo

da mesma reta.) Assim, de acordo com a Eq. 31-68, podemos escrever

 

A grandeza é chamada valor médio quadrático, ou valor rms,1 da corrente I:

 

Podemos escrever a Eq. 31-69 na forma

 

A Eq. 31-71 tem a mesma forma que a Eq. 26-27 (P = i2R); isso significa que, usando a corrente rms, podemos calcular a taxa média de dissipação de energia em circuitos de corrente alternada como se estivéssemos trabalhando com um circuito de corrente contínua.

Podemos também definir o valor rms de uma tensão alternada e de uma força eletromotriz alternada:

 

Os instrumentos usados em circuitos de corrente alternada, como amperímetros e voltímetros, são quase sempre calibrados para indicar valores de I , V e . Assim, quando ligamos um voltímetro de corrente rms rms rms

alternada a uma tomada de parede e obtemos um valor de 120 V, trata-se da tensão rms. O valor máximo da diferença de potencial em uma tomada de parede é . Em geral, os cientistas e engenheiros usam os

valores rms das grandezas elétricas, e não os valores máximos.

Como o fator de proporcionalidade nas Eqs. 31-70 e 31-72 é o

mesmo para as três variáveis, podemos escrever as Eqs. 31-62 e 31-60 como

 

e, na verdade, essa é, na prática, a forma que mais se usa.

Podemos usar a relação I = /Z para escrever a Eq. 31-71 de outra rms rms forma. Temos

 

Acontece que, de acordo com a Fig. 31-14d, a Tabela 31-2 e a Eq. 31-

62, R/Z é o cosseno da constante de fase ϕ:

 

A Eq. 31-74 se torna, portanto,

 

em que o termo cos ϕ recebe o nome de fator de potência. Como cos ϕ =

cos(−ϕ), a Eq. 31-76 é independente do sinal da constante de fase ϕ.

Para maximizar a taxa com a qual a energia é fornecida a uma carga resistiva em um circuito RLC, devemos manter o fator de potência o mais próximo possível da unidade, o que equivale a manter a constante de fase ϕ

da Eq. 31-29 o mais próximo possível de zero. Se, por exemplo, o circuito é altamente indutivo, ele pode se tornar menos indutivo ligando um capacitor adicional em série com o circuito. (Lembre-se de que colocar uma capacitância em série com uma capacitância já existente reduz a capacitância total C e de que a reatância capacitiva é inversamente eq

proporcional à capacitância.) As empresas de energia elétrica costumam ligar capacitores em série com as linhas de transmissão para obter esse resultado.

Teste 7

(a) Se a corrente em um circuito RLC série com excitação senoidal está

adiantada em relação à força eletromotriz, devemos aumentar ou

diminuir a capacitância para aumentar a taxa com a qual a energia da

fonte é fornecida à resistência? (b) Essa mudança aproxima ou afasta a

frequência de ressonância do circuito da frequência da força

eletromotriz da fonte?

 

Exemplo 31.07 Fator de potência e potência

média de um circuito RLC alimentado por uma

fonte

Um circuito RLC série, alimentado por uma fonte com = 120 V e f rmsd

= 60,0 Hz, contém uma resistência R = 200 Ω, uma indutância com

uma reatância indutiva X = 80,0 Ω e uma capacitância com uma L

reatância capacitiva X = 150 Ω. C

(a) Determine o fator de potência cos ϕ e a constante de fase ϕ do

circuito.

 

IDEIA-CHAVE

O fator de potência cos ϕ pode ser calculado a partir da resistência R e

da impedância Z usando a Eq. 31-75 (cos ϕ = R/Z).

Cálculos: Para calcular Z, usamos a Eq. 31-61:

 

A Eq. 31-75 nos dá

Tomando o arco cosseno, obtemos

 

ϕ = cos−1 0,944 = ±19,3o

 

Tanto +19,3o como −19,3o têm um cosseno de 0,944. Para determinar

qual é o sinal correto, temos que verificar se a corrente está adiantada

ou atrasada em relação à força eletromotriz. Como X > X , o circuito é C L

mais capacitivo que indutivo, com a corrente adiantada em relação à

força eletromotriz. Assim, o ângulo de fase ϕ deve ser negativo:

 

Poderíamos também ter usado a Eq. 31-65 para calcular ϕ. Nesse caso,

uma calculadora forneceria a resposta já com o sinal negativo.

(b) Qual é a taxa média P com a qual a energia é dissipada na méd

resistência?

 

IDEIAS-CHAVE

Existem duas formas de abordar o problema: (1) Como estamos

supondo que o circuito está no regime estacionário, a taxa com a qual a

energia é dissipada na resistência é igual à taxa com a qual a energia é

fornecida ao circuito, que pode ser calculada com o auxílio da Eq. 31-

76 (P = I cos ϕ). (2) A taxa com a qual a energia é dissipada na méd rms rms

resistência R pode ser calculada a partir do valor rms da corrente, I , rms

usando a Eq. 31-71 .

Primeira abordagem: O valor rms da força eletromotriz, , é um rms

dos dados do problema, e o valor de cos ϕ foi calculado no item (a). O

valor de I pode ser calculado a partir do valor rms da força rms

eletromotriz e da impedância Z do circuito (que é conhecida) usando a

Eq. 31-73:

Substituindo este resultado na Eq. 31-76, obtemos

 

Segunda abordagem: Temos

 

(c) Que nova capacitância C deve ser usada no circuito para nova

maximizar P sem mudar os outros parâmetros do circuito? méd

 

IDEIAS-CHAVE

(1) A taxa média P com a qual a energia é fornecida e dissipada é méd

máxima quando o circuito está em ressonância com a força

eletromotriz aplicada. (2) A ressonância acontece para X = X . C L

Cálculos: De acordo com os dados do problema, temos X > X . C L

Assim, precisamos reduzir X para conseguir a ressonância. De acordo C

com a Eq. 31-39 (X = 1/ω C); isso significa que a nova capacitância C d

deve ser maior que a anterior.

De acordo com a Eq. 31-39, a condição X = X pode ser escrita C L

na forma