A Lei de Coulomb

Entre os pedaços A e B existe ar, que é constituído principalmente por moléculas de nitrogênio (N ). Muitos dos elétrons que estão passando de A 2

para B colidem com moléculas de nitrogênio, fazendo com que emitam luz ultravioleta. Os olhos humanos não conseguem ver esse tipo de radiação. Entretanto, as moléculas de gaultéria na superfície da pastilha absorvem a radiação ultravioleta e emitem luz azul; é por isso que você vê clarões azuis saindo da boca do seu amigo.

 

Teste 1

A figura mostra cinco pares de placas. A, B e D são placas de plástico

carregadas e C é uma placa de cobre eletricamente neutra. As forças

eletrostáticas entre três dos pares de placas estão indicadas. Os outros

dois pares de placas se atraem ou se repelem?

 

A Lei de Coulomb

Chegamos finalmente à equação da lei de Coulomb, mas uma palavra de advertência é necessária. Essa equação é válida apenas para partículas carregadas (e para os poucos objetos que podem ser tratados como cargas pontuais). No caso de objetos macroscópicos, nos quais a carga está distribuída de modo assimétrico, precisamos recorrer a métodos mais sofisticados. Assim, vamos considerar, por enquanto, apenas partículas carregadas e não, por exemplo, dois gatos eletricamente carregados.

Uma partícula carregada exerce uma força eletrostática sobre outra partícula carregada. A direção da força é a da reta que liga as partículas, mas o sentido depende do sinal das cargas. Se as cargas das partículas têm o

mesmo sinal, as partículas se repelem (Figs. 21-5a e 21-5b), ou seja, são submetidas a forças que tendem a afastá-las. Se as cargas das partículas têm

sinais opostos, as partículas se atraem (Fig. 21-7c), ou seja, são submetidas a forças que tendem a aproximá-las.

 

Figura 21-5 Duas partículas carregadas se repelem se as cargas forem (a) positivas ou (b) negativas. (c) As partículas se atraem se as cargas tiverem sinais opostos.

 

Figura 21-6 A força eletrostática a que a partícula 1 está submetida pode ser descrita em termos de um vetor unitário na direção da reta que liga as duas partículas.

 

A equação usada para calcular a força eletrostática exercida por partículas carregadas é chamada de lei de Coulomb em homenagem a Charles-Augustin de Coulomb, que a propôs em 1785, com base em experimentos de laboratório. Vamos escrever a equação em forma vetorial e

em termos das partículas da Fig. 21-6, na qual a partícula 1 tem carga q e a 1 partícula 2 tem carga q . (Esses símbolos podem representar uma carga 2

positiva ou uma carga negativa.) Vamos concentrar nossa atenção na partícula 1 e descrever a força que age sobre essa partícula em termos de um vetor unitário na direção da reta que liga as duas partículas e no sentido da partícula 2 para a partícula 1. (Como todo vetor unitário, é um vetor adimensional de módulo 1; seu único propósito é mostrar uma direção e um sentido, como a seta de mão única de uma placa de trânsito.) Usando essas convenções, a força eletrostática pode ser escrita na forma

 

em que r é a distância entre as partículas e k é uma constante positiva conhecida como constante eletrostática ou constante de Coulomb. (Mais adiante, voltaremos a falar de k.)

Vamos primeiro verificar qual é o sentido da força que a partícula 2

exerce sobre a partícula 1, de acordo com a Eq. 21-1. Se q e q tiverem o 1 2 mesmo sinal, o produto q q será positivo e a força que age sobre a partícula 1 2

1 terá o mesmo sentido que . Isso faz sentido, já que a partícula 1 estará sendo repelida pela partícula 2. Se q e q tiverem sinais opostos, o produto 1 2 q q será negativo e a força que age sobre a partícula 1 terá o sentido oposto 1 2

ao de . Isso também faz sentido, já que a partícula 1 estará sendo atraída pela partícula 2.

Uma Digressão. Curiosamente, a Eq. 21-1 tem a mesma forma que a equação de Newton (Eq. 13-3) para a força gravitacional entre duas partículas de massas m e m separadas por uma distância r: 1 2

 

em que G é a constante gravitacional. Embora os dois tipos de força sejam muito diferentes, as duas equações descrevem leis do tipo inverso do quadrado (a variação com 1/r2) as quais envolvem um produto de uma propriedade das partículas envolvidas — massa em um caso, carga no outro. Entretanto, as forças gravitacionais são sempre atrativas, enquanto as forças eletrostáticas podem ser atrativas ou repulsivas, dependendo dos sinais das cargas. A diferença resulta do fato de que existe apenas um tipo de massa, mas existem dois tipos de carga elétrica.

Unidade. A unidade de carga do SI é o coulomb. Por motivos práticos, que têm a ver com a precisão das medidas, o coulomb é definido a partir da unidade do SI para a corrente elétrica, o ampère. A corrente elétrica será

discutida com detalhes no Capítulo 26. No momento, vamos apenas observar que a corrente i é a taxa dq/dt com a qual a carga passa por um ponto ou por uma região:

 

Explicitando a carga na Eq. 21-3 e substituindo os símbolos por suas unidades (coulombs C, ampères A e segundos s), temos

 

1 C = (1 A)(1 s).

 

Módulo da Força. Por motivos históricos (e, também, para simplificar

outras expressões), a constante eletrostática k da Eq. 21-1 é muitas vezes escrita na forma 1/4πε . Nesse caso, o módulo da força eletrostática 0

expressa pela lei de Coulomb se torna

 

As constantes das Eqs. 21-1 e 21-4 têm o valor

 

A constante ε , conhecida como constante elétrica, às vezes aparece 0

separadamente nas equações e tem o valor

Uso em Problemas. Na Eq. 21-4, que nos dá o módulo da força eletrostática, as cargas aparecem em valor absoluto. Assim, para resolver os

problemas deste capítulo, a Eq. 21-4 serve apenas para calcular o módulo da força a que está sujeita uma partícula; o sentido da força deve ser obtido separadamente, levando em conta o sinal da carga das duas partículas.

Várias Forças. Como todas as forças discutidas neste livro, a força eletrostática obedece ao princípio da superposição. Suponha que existam n partículas carregadas nas vizinhanças de uma partícula que vamos chamar de partícula 1. Nesse caso, a força total a que a partícula 1 está submetida é dada pela soma vetorial

 

em que, por exemplo, é a força a que partícula 1 está submetida devido 14

à presença da partícula 4.

Como a Eq. 21-7 pode ser usada para resolver muitos problemas que envolvem a força eletrostática, vamos descrevê-la em palavras. Se você deseja saber que é a força resultante que age sobre uma partícula carregada que está cercada por outras partículas carregadas, o primeiro passo é definir claramente qual é a partícula a ser investigada; o segundo é calcular as forças que as outras partículas exercem sobre a partícula escolhida. Desenhe os vetores que representam essas forças em um diagrama de corpo livre da partícula escolhida, com as origens de todos os vetores na partícula. (Isso pode parecer irrelevante, mas concentrar as origens dos vetores em um único ponto ajuda a evitar vários tipos de erros.) Finalmente, some as forças usando uma soma vetorial, como foi discutido no Capítulo 3. (Não estaria certo somar simplesmente os módulos das forças.) O resultado dessa soma vetorial é a força resultante que age sobre a partícula escolhida.

Embora a natureza vetorial das forças eletrostáticas torne os problemas mais difíceis de resolver do que se estivéssemos com grandezas escalares,

agradeça à natureza pelo fato de que a Eq. 21-7 funciona na prática. Se o efeito combinado de duas forças eletrostáticas não fosse simplesmente a soma vetorial das duas forças, mas, por alguma razão, a presença de uma afetasse a intensidade da outra, nosso mundo seria muito difícil de compreender e de analisar.

Teoremas das Cascas. Analogamente aos teoremas das cascas da força gravitacional, temos dois teoremas das cascas para a força eletrostática:

Primeiro teorema das cascas: Uma partícula carregada situada do lado

de fora de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga

é atraída ou repelida como se toda a carga estivesse situada no centro

da casca.

 

Segundo teorema das cascas: Uma partícula carregada situada no

interior de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga

não é atraída nem repelida pela casca.

 

(No primeiro teorema, supomos que a carga da casca é muito maior que a carga da partícula, o que permite desprezar qualquer redistribuição da carga da casca devido à presença da partícula.)

 

Condutores Esféricos

Se um excesso de cargas é depositado em uma casca esférica feita de material condutor, a carga se distribui uniformemente na superfície (externa) da casca. Assim, por exemplo, quando colocamos elétrons em excesso em uma casca esférica metálica, os elétrons se repelem mutuamente e se espalham pela superfície externa até ficarem uniformemente distribuídos, um arranjo que maximiza as distâncias entre os pares de elétrons em excesso. Nesse caso, de acordo com o primeiro teorema das cascas, a casca passa a atrair ou repelir uma carga externa como se todo o excesso de cargas estivesse no centro da casca.

Quando removemos cargas negativas de uma casca esférica metálica, as cargas positivas resultantes também se distribuem uniformemente na superfície da casca. Assim, por exemplo, se removemos n elétrons, passam a existir n cargas positivas (átomos nos quais está faltando um elétron) distribuídas uniformemente na superfície externa da casca. De acordo com o primeiro teorema das cascas, a casca nesse caso também passa a atrair ou repelir uma carga externa como se todo o excesso de cargas estivesse no centro.

 

Teste 2

A figura mostra dois prótons (símbolo p) e um elétron (símbolo e) em

uma reta. Determine o sentido (a) da força eletrostática exercida pelo

elétron sobre o próton central; (b) da força eletrostática exercida pelo

outro próton sobre o próton central; (c) da força total exercida sobre o

próton central.

 

Exemplo 21.01 Cálculo da força total

exercida por duas partículas

Este exemplo na verdade é uma série de três exemplos com um grau

crescente de dificuldade. Todos envolvem a mesma partícula carregada

1. Primeiro, a partícula está sujeita a uma única força (coisa fácil). Em

seguida, as forças são duas, mas apontam em direções opostas (o que

facilita as coisas). Finalmente, as forças também são duas, mas

apontam em direções diferentes (agora temos que nos lembrar de que

as forças são grandezas vetoriais). O segredo para resolver problemas

desse tipo é desenhar os vetores que representam as forças antes de

usar uma calculadora, para não correr o risco de obter somas que não

fazem sentido.

(a) A Fig. 21-7a mostra duas partículas positivamente carregadas

situadas em pontos fixos do eixo x. As cargas são q = 1,60 × 10–19 C e 1

q = 3,20 × 10–19 C e a distância entre as cargas é R = 0,0200 m. 2

Determine o módulo e a orientação da força eletrostática exercida 12

pela partícula 2 sobre a partícula 1.

IDEIAS-CHAVE

Como as duas partículas têm carga positiva, a partícula 1 é repelida

pela partícula 2 com uma força cujo módulo é dado pela Eq. 21-4.

Assim, a direção da força exercida pela partícula 2 sobre a 12

partícula 1 é para longe da partícula 2, ou seja, no sentido negativo do

eixo x, como mostra o diagrama de corpo livre da Fig. 21-7b.

 

Figura 21-7 (a) Duas partículas de cargas q e q são mantidas fixas 1 2

no eixo x. (b) Diagrama de corpo livre da partícula 1, mostrando a

força eletrostática exercida pela partícula 2. (c) Inclusão da partícula 3.

(d) Diagrama de corpo livre da partícula 1. (e) Inclusão da partícula 4.

(f) Diagrama de corpo livre da partícula 1.

 

Duas partículas: Usando a Eq. 21-4 com r igual à distância R entre

as cargas, podemos escrever o módulo F da força como 12

Assim, a força tem o seguinte módulo e direção (em relação ao 12

sentido positivo do eixo x):

 

Podemos também escrever na notação de vetores unitários como 12

 

(b) A Fig. 21-7c é igual à Fig. 21-7a, exceto pelo fato de que agora

existe uma partícula 3 no eixo x entre as partículas 1 e 2. A partícula 3

tem uma carga q = –3,20 × 10–19 C e está a uma distância 3R/4 da 1

partícula 1. Determine a força eletrostática exercida sobre a 1,tot

partícula 1 pelas partículas 2 e 3.

 

IDEIA-CHAVE

A presença da partícula 3 não altera a força eletrostática que a

partícula 2 exerce sobre a partícula 1. Assim, a força continua a 12

agir sobre a partícula 1. Da mesma forma, a força que a partícula 3 13

exerce sobre a partícula 1 não é afetada pela presença da partícula 2.

Como as cargas das partículas 1 e 3 têm sinais opostos, a partícula 1 é

atraída pela partícula 3. Assim, o sentido da força é na direção da 13

partícula 3, como mostra o diagrama de corpo livre da Fig. 21-7d.

Três partículas: Para determinar o módulo de , usamos a Eq. 21-13

4:

 

Podemos também escrever na notação dos vetores unitários: 13

 

13 = (2,05 × 10–24 N)î.

 

A força total exercida sobre a partícula 1 é a soma vetorial 1,tot

de e . De acordo com a Eq. 21-7, podemos escrever a força total 12 13

1,tot exercida sobre a partícula 1, na notação dos vetores unitários,

como

 

Desse modo, tem o seguinte módulo e direção (em relação ao 1,tot

sentido positivo do eixo x):

 

(c) A Fig. 21-7e é igual à Fig. 21-7a, exceto pelo fato de que agora

existe uma partícula 4. A partícula 4 tem uma carga q = –3,20 × 10–19 4

C, está a uma distância 3R/4 da partícula 1 e está em uma reta que faz

um ângulo θ = 60o com o eixo x. Determine a força de atração

eletrostática exercida sobre a partícula 1 pelas partículas 2 e 4. 1,tot

IDEIA-CHAVE

 

A força total é a soma vetorial de e uma nova força que 1,tot 12 14

age sobre a partícula 1 devido à presença da partícula 4. Como as

partículas 1 e 4 têm cargas de sinais opostos, a partícula 1 é atraída

pela partícula 4. Assim, o sentido da força é na direção da 14

partícula 4, fazendo um ângulo de 60o com o eixo x, como mostra o

diagrama da Fig. 21-7f.

Quatro partículas: Podemos escrever a Eq. 21-4 na forma

 

Nesse caso, de acordo com a Eq. 21-7, a força total exercida 1,tot

sobre a partícula 1 é dada por

 

1,tot = + . 12 14

 

Como as forças e não têm a mesma direção, não podemos 12 14

somá-las simplesmente somando ou subtraindo os módulos. Em vez

disso, precisamos executar uma soma vetorial, usando um dos métodos

a seguir.

Método 1. Executar a soma vetorial em uma calculadora. No caso de

12, entramos com o módulo 1,15 × 10–24 e o ângulo de 180o. No caso

de , entramos com o módulo 2,05 × 10–24 e o ângulo de 60o. Em 14

seguida, somamos os vetores.

Método 2. Executar a soma vetorial na notação dos vetores unitários.

Em primeiro lugar, escrevemos na forma 14

 

14 = (F cos θ)î + (F sen θ)ĵ 12 14

Fazendo F = 2,05 × 10–24 N e θ = 60o, temos 14

 

14 = (1,025 × 10–24 N)î + (1,775 × 10–24 N)ĵ.

 

Agora podemos executar a soma:

 

Método 3. Executar a soma vetorial por componentes. Somando as

componentes x dos dois vetores, temos

 

F = F + F = F + F cos 60° 1,tot,x 12,x 14,x 12 14

= –1,15 × 10–24 N + (2,05 × 10–24 N)(cos 60°)

= –1,25 × 10–25 N.

 

Somando as componentes y, obtemos

 

F = F + F = 0+ F sen 60° 1,tot,y 12,y 14,y 14

= (2,05 × 10–24 N)(cos 60°)

= 1,78 × 10–24 N.

 

O módulo da força é dado por 1,tot

 

Para determinar a direção de , calculamos 1,tot

Entretanto, esse resultado não é razoável, já que a direção de deve 1,tot

estar entre as direções de e . Para obter o valor correto de θ, 12 14

somamos 180o, o que nos dá

 

Teste 3

A figura mostra três arranjos de um elétron, e, e dois prótons, p. (a)

Ordene os arranjos de acordo com o módulo da força eletrostática

exercida pelos prótons sobre o elétron, em ordem decrescente. (b) No

arranjo c, o ângulo entre a força total exercida sobre o elétron e a reta d

é maior ou menor que 45o?

 

Exemplo 21.02 Equilíbrio de uma partícula

submetida a duas forças

A Fig. 21-8a mostra duas partículas fixas: uma partícula de carga q = 1

+8q na origem e uma partícula de carga q = –2q em x = L. Em que 2

ponto (que não esteja a uma distância infinita das cargas) um próton

pode ser colocado de modo a ficar em equilíbrio (sem estar submetido

a uma força)? O equilíbrio é estável ou instável? (Ou seja, se o próton

sofrer um pequeno deslocamento, as forças o farão voltar à posição de

equilíbrio?)

IDEIA-CHAVE

 

Se é a força exercida sobre o próton pela carga q e é a força 1 1 2

exercida sobre o próton pela carga q , o ponto que procuramos é aquele 2

no qual + = 0. Isso significa que 1 2

 

Assim, no ponto que procuramos, as forças que as duas partículas

exercem sobre o próton devem ter o mesmo módulo, ou seja,

 

e as forças devem ter sentidos opostos.

Raciocínio: Como a carga do próton é positiva, as cargas do próton e

da partícula de carga q têm o mesmo sinal e, portanto, a força 1 1

exercida sobre o próton pela partícula q aponta para longe de q . 1 1

Como o próton e a partícula de carga q têm sinais opostos, a força 2 2

exercida sobre o próton pela partícula q aponta na direção de q . As 2 2

direções “para longe de q ” e “para perto de q ” só podem ser direções 1 2

opostas se o próton estiver na reta que liga as duas partículas, ou seja,

no eixo x.

Figura 21-8 (a) Duas partículas de cargas q e q são mantidas fixas 1 2

no eixo x, separadas por uma distância L. (b)-(d) Três posições

possíveis de um próton, P, S e R. Nas três posições, é a força que a 1

partícula 1 exerce sobre o próton e é a força que a partícula 2 2

exerce sobre o próton.

 

Se o próton estiver em um ponto do eixo x entre q e q , como o 1 2

ponto P da Fig. 21-8b, e terão o mesmo sentido e não sentidos 1 2

opostos, como desejamos. Se o próton estiver em um ponto do eixo x à

esquerda de q , como o ponto S da Fig. 21-8c, e terão sentidos 1 1 2

opostos. Entretanto, de acordo com a Eq. 21-4, e não poderão ter 1 2

módulos iguais; será sempre maior que , já que será 1 2 1

produzido por uma carga mais próxima (com menor valor de r) e

maior módulo (8q, em comparação com 2q).

Finalmente, se o próton estiver em um ponto do eixo x à direita de

q , como o ponto R da Fig. 21-8d, e terão novamente sentidos 2 1 2

opostos. Entretanto, como agora a carga de maior módulo (q ) está 1

mais distante do próton que a carga de menor módulo, existe um ponto

no qual e são iguais. Seja x a coordenada desse ponto e seja q a 1 2 p

carga do próton.

Cálculos: Combinando a Eq. 21-9 com a Eq. 21-4, obtemos

 

(Observe que apenas os módulos das cargas aparecem na Eq. 21-10.

Como já levamos em conta o sentido das forças ao desenhar a Fig. 21-

8d e ao escrever a Eq. 21-10, não devemos incluir os sinais das

cargas.) De acordo com a Eq. 21-10, temos

 

Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, obtemos

 

e

 

O equilíbrio no ponto x = 2L é instável. Quando o próton é

deslocado para a esquerda em relação ao ponto R, F e F aumentam, 1 2

mas F aumenta mais (porque q está mais próxima que q ) e a força 2 2 1

resultante faz com que o próton continue a se mover para a esquerda

até se chocar com a carga q . Quando o próton é deslocado para a 2

direita em relação ao ponto R, F e F diminuem, mas F diminui mais 1 2 2

e a força resultante faz com que o próton continue a se mover

indefinidamente para a direita. Se o equilíbrio fosse estável, o próton

voltaria à posição inicial depois de ser deslocado ligeiramente para a

esquerda ou para a direita.

Exemplo 21.03 Distribuição de uma carga entre

duas esferas condutoras iguais

Na Fig. 21-9a, duas esferas condutoras iguais, A e B, estão separadas

por uma distância (entre os centros) muito maior que o raio das

esferas. A esfera A tem uma carga positiva +Q e a esfera B é

eletricamente neutra. Inicialmente, não existe força eletrostática entre

as esferas. (A carga induzida na esfera neutra pode ser desprezada

porque as esferas estão muito afastadas.)

(a) As esferas são ligadas momentaneamente por um fio condutor

suficientemente fino para que a carga que se acumula no fio possa ser

desprezada. Qual é a força eletrostática entre as esferas depois que o

fio é removido?

 

IDEIAS-CHAVE

(1) Como são iguais, as esferas devem terminar o processo com cargas

iguais (mesmo sinal e mesmo valor absoluto) ao serem ligadas por um

fio. (2) A soma inicial das cargas (incluindo o sinal) deve ser igual à

soma final das cargas.

Raciocínio: Quando as esferas são ligadas por um fio, os elétrons de

condução (negativos) da esfera B, que se repelem mutuamente, podem

se afastar uns dos outros (movendo-se, por meio do fio, para a esfera A

positivamente carregada, que os atrai, como mostra a Fig. 21-9b). Com

isso, a esfera B perde cargas negativas e fica positivamente carregada,

enquanto a esfera A ganha cargas negativas e fica menos positivamente

carregada. A transferência de carga cessa quando a carga da esfera B

aumenta para +Q/2 e a carga da esfera A diminui para +Q/2, o que

acontece quando uma carga –Q/2 passa de B para A.

Depois que o fio é removido (Fig. 21-9c), podemos supor que a

carga de cada esfera não perturba a distribuição de cargas na outra

esfera, já que a distância entre as esferas é muito maior que o raio das

esferas. Assim, podemos aplicar o primeiro teorema das cascas às duas

esferas. Conforme a Eq. 21-4, com q = q = Q/2 e r = a, 1 2