Dielétricos e a Lei de Gauss

Tanto o campo produzido pelas cargas superficiais dos dipolos

induzidos nas moléculas apolares (Fig. 25-15c) como o campo elétrico

produzido pelos dipolos permanentes das moléculas polares (Fig. 25-14) apontam no sentido oposto ao do campo aplicado. Assim, tanto os dielétricos polares como os dielétricos apolares enfraquecem o campo elétrico na região onde se encontram, que pode ser o espaço entre as placas de um capacitor.

 

25-6 DIELÉTRICOS E A LEI DE GAUSS

 

Objetivos do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...

25.28 Saber a diferença entre carga livre e carga induzida em um capacitor com um dielétrico.

25.29 Em um capacitor em que o espaço entre as placas está ocupado total ou parcialmente por um

dielétrico, calcular a carga livre, a carga induzida, o campo elétrico na região entre as placas (se

a ocupação é parcial, o campo elétrico tem mais de um valor) e a diferença de potencial entre as

placas.

 

Ideias-Chave

• Quando um dielétrico é introduzido no espaço entre as placas de um capacitor, é induzida uma carga nas superfícies do dielétrico que reduz o campo elétrico na região entre as placas. • A carga induzida é menor que a carga livre das placas. • Na presença de um dielétrico, a lei de Gauss se torna em que q é a carga livre. O efeito da carga induzida é levado em conta pela inclusão da constante dielétrica κ no integrando.

 

Dielétricos e a Lei de Gauss

Em nossa discussão da lei de Gauss no Capítulo 23, supusemos que as cargas estavam no vácuo. Agora vamos modificar e generalizar a lei para que ela possa ser aplicada ao interior de materiais dielétricos como os da

Tabela 25-1. A Fig. 25-16 mostra um capacitor de placas paralelas com e sem um dielétrico no espaço entre as placas, cuja área é A. Vamos supor que a carga q das placas é a mesma nas duas situações. Observe que o campo elétrico entre as placas induz cargas nas superfícies do dielétrico por um dos mecanismos discutidos no Módulo 25-5.

Para a situação da Fig. 25-16a, na ausência de um dielétrico, podemos

calcular o campo elétrico entre as placas como fizemos na Fig. 25-5: Envolvemos a carga +q da placa superior com uma superfície gaussiana e aplicamos a lei de Gauss. Chamando de E o módulo do campo, obtemos 0

 

ou

 

Na Fig. 25-16b, com um dielétrico no espaço entre as placas, podemos calcular o campo elétrico entre as placas (e no interior do dielétrico) usando a mesma superfície gaussiana. Agora, porém, a superfície envolve dois tipos de cargas: a carga +q da placa superior do capacitor e a carga induzida −q′ da superfície superior do dielétrico. Dizemos que a carga da placa do capacitor é uma carga livre porque pode se mover sob a ação de um campo elétrico aplicado; a carga induzida na superfície do dielétrico não é uma carga livre, pois ela não pode deixar o local onde se encontra.

Como a carga total envolvida pela superfície gaussiana da Fig. 25-16b é q − q′, a lei de Gauss nos dá

 

ou

 

Como o efeito do dielétrico é dividir por κ o campo original E , podemos 0 escrever:

Comparando as Eqs. 25-33 e 25-34, temos

 

A Eq. 25-35 mostra corretamente que o valor absoluto q′ da carga induzida na superfície do dielétrico é menor que o da carga livre q e que é zero na

ausência de um dielétrico (caso em que κ = 1 na Eq. 25-35).

 

Figura 25-16 Capacitor de placas paralelas (a) sem e (b) com um dielétrico entre as placas. A carga q das placas é tomada como a mesma nos dois casos.

 

Substituindo q − q′ na Eq. 25-32 pelo seu valor, dado pela Eq. 25-35, podemos escrever a lei de Gauss na forma

 

Embora tenha sido demonstrada para o caso particular de um capacitor de

placas paralelas, a Eq. 25-36 é válida para todos os casos e constitui a forma mais geral da lei de Gauss. Observe o seguinte:

1. A integral de fluxo agora envolve o produto κ em vez de . (O

vetor ε κ recebe o nome de deslocamento elétrico e é representado 0

pelo símbolo ; assim, a Eq. 25-36 pode ser escrita na forma

)

2. A carga q envolvida pela superfície gaussiana agora é tomada como

apenas a carga livre. A carga induzida nas superfícies do dielétrico é

deliberadamente ignorada no lado direito da Eq. 25-36, pois seus

efeitos já foram levados em conta quando a constante dielétrica κ foi

introduzida no lado esquerdo.

3. A diferença entre a Eq. 25-36 e a Eq. 23-7, nossa versão original da

lei de Gauss, está apenas no fato de que, na Eq. 25-36, a constante ε0

foi substituída por κε . Mantemos κ no integrando da Eq. 25-36 para 0

incluir os casos em que κ não é a mesma em todos os pontos da

superfície gaussiana.

 

Exemplo 25.06 Dielétrico preenchendo

parcialmente o espaço entre as placas de um

capacitor

A Fig. 25-17 mostra um capacitor de placas paralelas em que a área

das placas é A e a distância entre as placas é d. Uma diferença de

potencial V é aplicada às placas por uma bateria. Em seguida, a 0

bateria é desligada e uma barra de dielétrico de espessura b e constante

dielétrica κ é introduzida entre as placas, da forma mostrada na figura.

Suponha que A = 115 cm2, d = 1,24 cm, V = 85,5 V, b = 0,780 cm e κ 0

= 2,61.

(a) Qual é a capacitância C antes da introdução do dielétrico? 0

Cálculo: De acordo com a Eq. 25-9, temos

 

(b) Qual é o valor da carga das placas?

Cálculo: De acordo com a Eq. 25-1, temos

Como a bateria usada para carregar o capacitor foi desligada antes da

introdução do dielétrico, a carga das placas não muda quando o

dielétrico é introduzido.

(c) Qual é o campo elétrico E nos espaços entre as placas do capacitor 0

e o dielétrico?

 

IDEIA-CHAVE

Podemos aplicar a lei de Gauss, na forma da Eq. 25-36, à superfície

gaussiana I da Fig. 25-17.

Cálculos: Como o campo é zero no interior da placa e é

perpendicular às faces laterais da superfície gaussiana, precisamos

considerar apenas o fluxo através da face inferior da superfície

gaussiana. Como o vetor área e o vetor campo apontam

verticalmente para baixo, o produto escalar da Eq. 25-36 se torna

 

Figura 25-17 Capacitor de placas paralelas com um dielétrico que

não ocupa totalmente o espaço entre as placas.

 

Nesse caso, a Eq. 25-36 se reduz a

A integração agora nos dá simplesmente a área A da placa. Assim,

temos

 

Devemos fazer κ = 1 porque a superfície gaussiana I não passa pelo

dielétrico. Assim, temos

 

Observe que o valor de E não varia quando o dielétrico é introduzido 0

porque a carga envolvida pela superfície gaussiana I da Fig. 25-17 não

varia.

(d) Qual é o campo elétrico E no interior do dielétrico? 1

 

IDEIA-CHAVE

Podemos aplicar a lei de Gauss na forma da Eq. 25-36 à superfície

gaussiana II da Fig. 25-17.

Cálculos: Essa superfície envolve a carga livre −q e a carga induzida

+q′, mas a segunda deve ser ignorada quando usamos a Eq. 25-36. O

resultado é o seguinte:

 

O primeiro sinal negativo da equação vem do produto escalar . na

face superior da superfície gaussiana, já que agora o vetor campo

aponta verticalmente para baixo e o vetor área (que, como sempre,

aponta para fora da superfície gaussiana) aponta verticalmente para

cima. Como os vetores fazem um ângulo de 180o, o produto escalar é

negativo. Dessa vez, a constante dielétrica é a do dielétrico (κ = 2,61).

Assim, a Eq. 25-37 nos dá

 

(e) Qual é a diferença de potencial V entre as placas depois da

introdução do dielétrico?

 

IDEIA-CHAVE

Podemos determinar V integrando de uma placa do capacitor até a

outra ao longo de uma trajetória retilínea perpendicular ao plano das

placas.

Cálculo: No interior do dielétrico, a distância percorrida é b e o

campo elétrico é E ; nos espaços vazios entre as placas do capacitor e a 1

superfície do dielétrico, a distância percorrida é d − b e o campo

elétrico é E . De acordo com a Eq. 25-6, temos 0

 

Esse valor é menor que a diferença de potencial original de 85,5 V.

(f) Qual é a capacitância com o dielétrico entre as placas do capacitor?

 

IDEIA-CHAVE

A capacitância C está relacionada à carga livre q e à diferença de

potencial V pela Eq. 25-1.