Um Curso de Cálculo, Volume 2
2 Função Dada por Integral
2.1 Cálculo de Integral de Função Limitada e
Descontínua em um Número Finito de Pontos
O teorema que vamos enunciar e demonstrar a seguir conta-nos que se f e g forem integráveis em [a, b] e se f (x) for diferente de g (x) em apenas um número finito de pontos, então suas integrais serão iguais.
Teorema. Sejam f e g integráveis em [a, b] e tais que f (x)) g(x) em apenas um número nito de
pontos. Então
Demonstração h(x) = g(x) – f (x) é integrável em [a, b] e h(x) = 0, exceto em um número finito de pontos. Como
independe da escolha dos c , resulta que tal limite é zero, pois, para cada i
partição P de [a, b], podemos escolher c em [x , x ]i = 1, 2, …, n de modo i i – 1 i que h(c ) = 0. Assim i
ou seja,
e, portanto,
Exemplo 1
Calcule
Solução
f é integrável em [0, 2], pois é limitada e descontínua em apenas x = 1.
Temos
Em [0, 1], 2 f ( x ) = x ; logo,
Em [1, 2], f (x) difere de em apenas x = 1; daí
Portanto,
Exemplo 2
Calcule , em que
Solução
Para todo x ≥ 0, f é integrável em [0, x], pois, neste intervalo, f é limitada
e descontínua no máximo em um ponto. Temos
Como
segue que
ou seja,
Sejam x , x , …, x , p pontos do intervalo [a, b] e seja f uma função 1 2 p
definida em todos os pontos de [a, b], exceto em x , x , …, x . Suponhamos f 1 2 p limitada e contínua em todos os pontos de seu domínio. Pela definição de integral, não tem sentido falar na integral de f em [a, b], pois f não está definida em todos os pontos de [a, b]. Entretanto, a função g definida em [a, b] e dada por
em que m , m , …, m são números escolhidos arbitrariamente, é integrável 1 2 p
em [a, b] e o valor da integral independe da escolha dos m . Nada mais natural, i então, do que definir a integral de f em [a, b] por
Exemplo 3
Calcule em que
Solução
Exemplo 4
não existe no sentido de Riemann, pois não é limitada em ]0, 1].
Exercícios 2.1
1. Calcule
2. Calcule