Um Curso de Cálculo, Volume 2
2.3 Teorema do Valor Médio para Integral
a) Verifique que F′(x) = f (x) em todo x em que f for
contínua.
b) F é derivável em x = 1? Em caso afirmativo,
calcule F′(1) e compare com f (1).
Verifique que F′(x) = f (x) para todo x.
2.3 Teorema do Valor Médio para Integral
No próximo parágrafo, vamos enunciar e demonstrar o 2 o teorema fundamental do cálculo. Para tal, vamos precisar do teorema do valor médio ou teorema da média para integral.
Teorema (do valor médio para integral). Se f for contínua em [a, b], então existirá pelo
menos um c em [a, b] tal que
Demonstração Como f é contínua em [a, b], pelo teorema de Weierstrass, f assume em [a, b] valor máximo e valor mínimo. Sejam M o valor máximo e m o valor mínimo de f em [a, b]. Assim, para todo x em [a, b],
m ≤ f (x) ≤ M
e daí
ou seja,
e, portanto,
Deste modo, é um número entre o menor e o maior valor de f em [a,
b]; pelo teorema do valor intermediário, existe c em [a, b] tal que
ou seja,
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Interpretação Geométrica do Teorema do Valor Médio para Integral
Suponhamos f contínua em [a, b] e f (x) ≥ 0 em [a, b]. Assim, é a
área do conjunto A limitado pelas retas x = a, x = b, pelo eixo x e pelo gráfico de y = f (x). O teorema do valor médio conta-nos, então, que existe c em [a, b] tal que a área do retângulo de base b – a e altura f (c) é igual à área de A.
Antes de encerrar a seção, vamos destacar uma outra propriedade que será
utilizada na demonstração do 2 o teorema fundamental do cálculo.
Seja f integrável em [a, b] e seja c ∈ ]a, b[. Vimos na Seção 11.4 (Vol. 1)
que se f for integrável em [a, c] e em [c, b], então
Pois bem, na próxima seção, vamos precisar da seguinte propriedade, cuja
demonstração deixamos a seu cargo: “Se f for integrável em todo intervalo fechado contido em I, então
quaisquer que sejam α, β e γ no intervalo I.”
Exercícios 2.3
1. Suponha f (x) > 0 e contínua em [a, b]. Prove que
2. Suponha f (x) ≥ 0 e contínua em [a, b]. Prove que se
então f (x) = 0, para todo x ∈ [a, b].
3. Suponha f (x) ≥ 0 e integrável em [a, b]. A afirmação
é falsa ou verdadeira? Justifique.