Um Curso de Cálculo, Volume 2
Apêndice A Funções de uma Variável Real a Valores Complexos
A.1 Funções de uma Variável Real a Valores
Complexos
Uma função de uma variável real a valores complexos é uma função cujo domínio é um subconjunto de ℝ e cujo contradomínio é ℂ.
Exemplo 1
Considere a função 2 f dada por f ( t ) = t + i cos t. a) Qual o domínio?
b) Calcule f (0) e
Solução
a) O domínio de f é ℝ.
b) f (0) = i e
Exemplo 2
Seja f dada por f(t) = cos t + i sen t. Desenhe a imagem de f.
Solução
Para cada t, f (t) identifica-se com o ponto (cos t, sen t). A imagem de
f é a circunferência de centro na origem e raio 1:
Seja f: A → ℂ A ⊂ ℝ uma função de uma variável real a valores
complexos; então existem, e são únicas, duas funções f (t) e f (t), 1 2 definidas em A e a valores reais, tais que f(t) = f (t) + if (t), para todo t ∈ 1 2 A. Pois bem, diremos que f e continua em t ∈ A se e somente se f e f 0 1 2 forem contínuas em t . Diremos, ainda, que f é derivável em t se e 0 0 somente se f e f forem deriváveis em t . Sendo f derivável em t , 1 2 0 0 definimos a derivada de f em t por 0
f′(t ) = f ′(t )+ i f ′(t ). 0 1 0 2 0
Seja f: A → ℂ, A ⊂ ℝ, dizemos que F: A → ℂ é uma primitiva de f se
F′(t) = f(t), para todo t ∈ A. A notação ∫f(t)dt será usada para indicar a família das primitivas de f.
Teorema. Seja f : I → ℂ, em que I é um intervalo em ℝ. Se f′(t) = 0, para todo t ∈ I então
existe uma constante complexa k tal que f (t) = k, para todo t em I.
Demonstração
Seja f(t) = f (t) + if (t). Segue da hipótese que f ′(t) = 0 e f ′(t) = 0 em I; 1 2 1 2 assim, existem constantes reais k e k tais que, para todo t ∈ I, tantes 1 2 reais k e k tais que, para todo 1 2
f (t) = k e f (t) = k . 1 1 2 2
Portanto, para todo t ∈ I.
f(t) = k + ik . 1 2
■
Como consequência deste teorema resulta que se f: I → ℂ e g: I → ℝ, I
intervalo, forem tais que f′(t) = g′(t) em I, então existirá uma constante complexa k tal que, para todo t em I,
g(t) = f(t) + k.
De fato, pela hipótese, para todo t em I,
[g(t) – f(t)]′ = 0
e, pelo teorema acima, existe uma constante k tal que, para todo t em I,
g(t) – f(t) = k.
Exemplo 3
Seja f(t) = cos t + i sen t.
a) Calcule f′(t).
b) Verifique que f′(t) = if(t).
Solução
a) f′(t) = [cos t, i sen t]′ = −sen t + i cos t.
b 2 ) f ′( t ) = i sen t + i cos t = i(cos t + i sen t) = if(t).
Exemplo 4
Seja αt u ( t ) = e (cos βt + i sen βt) em que α e β são constantes reais.
Seja λ = α + i β. Verifique que
Solução