Pré-Cálculo

1 Conjuntos Numéricos

 

1.1 Conjunto dos Números Naturais

 

O conjunto ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, ...} é chamado conjunto dos números naturais e é denotado por ℕ. É o conjunto que possui o 1 e todos os seus sucessores.

 

1.2 Conjunto dos Números Inteiros

 

O conjunto ℤ = {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} é chamado conjunto dos números inteiros e é denotado por ℤ. Esse conjunto é a extensão do conjunto dos números naturais, acrescentando os elementos negativos e o zero.

 

1.3 Conjunto dos Números Racionais O conjunto dos números racionais é denotado por ¤. Um número racional é qualquer número da forma em que a, b ∈ ℤ e b ≠ 0, ou seja,

 

Note que ℤ ⊂ ℚ, pois todo número inteiro a podemos escrever da forma

 

1.4 Conjunto dos Números Irracionais

 

O conjunto dos números irracionais é denotado por , e é formado pelos números reais que não podem ser expressos da forma em que a, b ∈ ℤ e b ≠ 0.

Exemplo: Provar que ∉ ℚ. Solução: Suponha que ∈ ℚ, sendo assim, em que é irreduível. Logo,

 

Temos assim que 2 a é par, o que implica que a é par, ou seja, podemos escrever a = 2m, m ∈ ℤ. Deste modo,

Portanto, temos que 2 b é par, logo b é par, ou seja, podemos escrever b = 2n, n ∈ ℤ. Contudo,

 

 

Ou seja, um absurdo, pois supusemos que a era irredutível. Portanto, ∉ ℚ, ou seja, ∈ . Outro exemplo conhecido de número irracional é π = 3,1415...

 

1.5 Conjunto dos Números Reais

 

O conjunto dos números reais, denotado por ℝ, dado por ℝ = ℚ ∪ , é munido de duas operações, adição (+) e multiplicação (·) e pela relação de ordem (≤). Sejam a, b, c ∈ ℝ. As operações de adição, multiplicação e a relação de ordem possuem as seguintes propriedades: A1) Associatividade da adição:

 

a + (b + c) = (a + b) + c

 

A2) Comutatividade da adição:

 

a + b = b + a

 

A3) Elemento neutro da adição:

 

∃0 tal que ∀a ∈ ℝ, 0 + a = a

 

A4) Inverso aditivo:

∀a ∈ ℝ, ∃b ∈ ℝ tal que a + b = 0

 

M1) Associatividade da multiplicação:

 

a · (b · c) = (a · b) · c

 

M2) Comutatividade da multiplicação:

 

a · b = b · a

 

M3) Elemento neutro da multiplicação:

 

∃1 ≠ 0 tal que ∀a ∈ ℝ, 1 · a = a

 

M4) Inverso multiplicativo:

 

∀a ∈ ℝ; ∃b ∈ ℝ tal que a · b = 1

 

O1) Reflexão:

 

a ≤ a

 

O2) Antissimétrica:

 

a ≤ b e b ≤ a ⇒ a = b

 

O3) Transitividade:

 

a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c

 

O4) Tricotomia:

 

a < b ou a = b ou a > b

 

OA) Consistência com respeito a adição:

 

a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c OM) Consistência com respeito a multiplicação:

 

Seja c > 0, então, a ≤ b ⇒ a · c ≤ b · c

 

D) Distributividade:

 

(b + c) = a · b + a · c

 

2 Polinômios

 

Um polinômio na incógnita x é uma expressão dada da seguinte forma:

 

em que n ∈ ℕ e a , a , ..., a , a são coeficientes reais, com a ≠ 0. O 0 2 n – 1 n n grau do polinômio é n, que é o maior expoente de x. Cada termo da forma a i x é chamado de monômio.

i

 

2.1 Soma de Polinômios

 

Para somar polinômios devemos somar os termos semelhantes, ou seja, os termos que possuem as mesmas potências de x. Sendo assim, dados p(x) = a 2 n 2 m + a x + a x + ... + x x e g ( x ) = b + b x + b x + ... + b x , e

0 1 2 n 0 1 2 m

considerando m > n, temos que:

 

Note que o grau da soma fica sendo o mesmo do polinômio de maior grau.

 

2.2 Multiplicação de Polinômios Para multiplicar polinômios devemos multiplicar cada monômio de um polinômio com os termos do outro polinômio, ou seja, dados p(x) = a + 0 a 2 n 2 m x + a x + ... + x x e g ( x ) = b + b x + b x + ... + b x , temos

1 2 n 0 1 2 m

que:

 

Note que o grau do produto é a soma dos graus dos dois polinômios.

 

2.3 Divisão de Polinômios

 

Sejam os polinômios p(x) e g(x), em que o grau de p(x) é maior ou igual ao grau de g(x), existe um único par de polinômios r(x) e q(x) que satisfaz,

 

p(x) = q(x)g(x) + r(x)

 

em que q(x) é o quociente e r(x) é o resto, tal que o grau de r(x) é menor do que o grau de g(x).

 

2.3.1 Algoritmo de Briot-Ruffini

 

O algoritmo de Briot-Ruffini é utilizado para dividir um polinômio p(x) = a 2 n + a x + a x + ... + x x por um polinômio da forma g(x) = x + b ou

0 1 2 n

g(x) = x – b, que consiste em efetuar a divisão fazendo cálculos apenas com os coeficientes.

Para usar este algoritmo precisamos encontrar a raiz de g(x) e identificar

os coeficientes de p(x). Sendo assim, considerando g(x) = x + b, temos que sua raiz é x – b = 0 ⇒ x = b, e os coeficientes de p(x) são: a , a , a , n n – 1 n – 2 ..., a , a , a . A montagem do algoritmo é da seguinte forma: 2 1 0

ou seja, colocamos a raiz de g(x) à esquerda e os coeficientes de p(x) à direita, e reescrevemos o coeficiente a na linha de baixo. O coeficiente a n n será multiplicado por b, que é a raiz de g(x) e somado com o coeficiente a n

– 1 . O resultado será colocado abaixo desse coeficiente, como no esquema

acima. Em seguida, esse valor será multiplicado por b e somado com o coeficiente a , e o resultado será colocado abaixo deste, repetindo este n – 2

procedimento até que acabem os coeficientes. O último valor encontrado será o resto da divisão. Os demais valores encontrados na linha inferior serão os coeficientes de q(x), que é o quociente da divisão, em que o último desses valores sempre acompanhará a variável, cujo o expoente é zero. Exemplo: 3 Divida x – 4x + 2 por x – 2. Solução: Primeiro calculamos a raiz do divisor x – 2, sendo assim, x – 2 = 0 ⇒ 3 2 x = 2. Observe que no polinômio x – 4 x + 2 o coeficiente de x é 0, ou seja, 3 3 2 x – 4 x + 2 = x + 0 x – 4x + 2. Utilizando o algoritmo de Briot-Ruffini, temos que

 

Vamos resolver passo a passo, inicialmente reescrevemos 1 na linha inferior,

 

em seguida multiplicamos 1 por 2 e somamos o resultado com o coeficiente 0, ou seja, 1 · 2 + 0 = 2. Esse resultado deve ser escrito embaixo do coeficiente 0.

Agora multiplicamos 2 por 2 e somamos o resultado com o coeficiente –4, ou seja, 2 · 2 + (–4) = 2. Esse resultado deve ser escrito embaixo do coeficiente –4.

 

Do mesmo modo, multiplicamos 0 por 2 e somamos o resultado com o coeficiente 2, ou seja, 0 · 2 + 2 = 2. Esse resultado deve ser escrito embaixo do coeficiente –4.

 

Obtemos, assim, que o resto da divisão é 2 e o polinômio quociente é 2 x + 2 2 2 x . Portanto, x + x – 4 x + 2 = ( x + 2x)(x – 2) + 2.

 

3 Fatoração

 

A fatoração é o processo de se transformar uma soma de duas ou mais parcelas em um produto de dois ou mais fatores. É bastante utilizada na simplificação de expressões, na resolução de equações, entre outras aplicações.

Uma das formas mais simples de fatoração consiste em colocar, quando

possível, o fator comum nas parcelas em evidência. Exemplo: a + ab = a(1 + b).

Exemplo: 2 2 a b + ab = ab(a + b).

Outra forma é o agrupamento, que consiste em reagrupar os termos, de

modo que se possa colocar um fator em evidência.

Exemplo: ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b(c + d) = (a + b)(c + d).

 

3.1 Produtos Notáveis

 

Produtos notáveis são produtos entre números, polinômios ou expressões algébricas, que podem ser resolvidos por meio de padrões. Dados a e b considere os seguintes produtos:

1) Quadrado da soma: ( 2 2 2 a + b ) = a + 2 ab + b 2) Quadrado da diferença: ( 2 2 2 a – b ) = a – 2 ab + b 3) Produto da soma pela diferença: ( 2 2 a + b )( a – b ) = a – b 4) Cubo da soma: ( 3 3 2 2 3 a + b ) = a + 3 a b + 3 ab + b 5) Cubo da diferença: ( 3 3 2 2 3 a – b ) = a – 3 a b + 3 ab – b

 

3.2 Completamento de Quadrados

 

O completamento de quadrados é utilizado para fatorar parcialmente expressões quadráticas, que não são trinômios quadrados perfeitos. Sendo assim, dado 2 ax + bx + c, tem-se:

 

4 Equações

 

Uma equação é uma relação de igualdade entre duas expressões, envolvendo uma ou mais incógnitas. O objetivo é resolver a equação, ou seja, queremos encontrar os valores das incógnitas que fazem com que a equação seja válida, esses valores são chamados de raízes ou soluções da equação.

 

4.1 Equação Polinomial

 

Uma equação polinomial é uma equação na forma

 

a 2 n – 1 n + a x + a x + ... + a x + x x = 0

0 1 2 n – 1 n

 

na incógnita x. Dizemos que x = x é raiz do polinômio se a + a x + a2 0 0 1 0 x 2 n – 1 n + ... + a x + x x = 0.

0 n – 1 0 n 0

 

4.2 o Equação de 1 Grau

 

Uma equação é dita de 1 o grau se é equivalente a

 

ax = b,

 

em que o a , b são constantes reais e a ≠ 0. As equações de 1 grau só possuem uma solução. Quando a equação está na forma ax = b, sua solução é

Exemplo: Resolva a equação 8x – 25 = 5 + 2x. Solução:

4.3 o Equação de 2 Grau

 

Uma equação é dita de 2 o grau se é equivalente a

 

ax 2 + bx + c = 0,

 

em que a, b, c são constantes reais e a ≠ 0. Vamos encontrar a solução desta

equação, sabemos que sendo assim,

Portanto, as raízes da equação 2 ax + bx + c = 0, com a ≠ 0, são dadas por

 

conhecida popularmente como a fórmula de Bhaskara. Denotamos por Δ = b 2 – 4ac o discriminante da equação. Quando Δ > 0, a equação possui duas raízes reais distintas, agora se Δ = 0 a equação só possui uma raiz real, mas se Δ < 0 a equação não possui raízes reais.

 

5 Desigualdade

 

Uma desigualdade é uma relação de ordem entre elementos de um conjunto. Dizemos que a é menor que b, que representamos por a < b, se existe um c tal que b = a + c. Dizemos que a é maior que b, que representamos por a > b, quando b < a. Também podemos dizer que a é menor que ou igual a b, que representamos por a ≤ b, ou que a é maior que ou igual a b, que representamos por a ≥ b.

Propriedades: Sejam a, b, c e d elementos do conjunto.

• Se a ≤ b, então b ≥ a.

• Se a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c.

• Se a ≤ b, então a + c ≤ b + c.

• Se c ≥ 0 e a ≤ b, então ac ≤ bc.

• Se c ≤ 0 e a ≤ b, então ac ≥ bc.

• Se a ≤ b e c ≤ d, então a + c ≤ b + d.

• |a + b| ≤ | a | + | b | (Desigualdade triangular).

 

5.1 Intervalos

 

Um intervalo é o conjunto de números reais compreendidos entre dois valores a e b. A inclusão ou exclusão dos valores a e b no intervalo permite definir diferentes tipos de intervalos.

Intervalo Aberto: ]a, b[ = {x ℝ | a < x < b}. Intervalo Fechado: ]a, b[ = {x ℝ | a ≤ x ≤ b}. Intervalo Misto: [a, b[ = {x ℝ | a ≤ x < b} e ]a, b] = {x ∈ ℝ | a < x ≤ b}. Intervalo Ilimitado: Dado a ∈ ℝ, definimos

Podemos também representar o conjunto ℝ por ]– ∞, ∞[. Observação: Do mesmo modo podemos representar de maneira adequada os intervalos nos outros conjuntos numéricos.

 

Exemplo:

a) {1, 2, 3, 4, 5} = {x ∈ ℕ | 1 ≤ x ≤ 5}. b) {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4} = {x ∈ ℤ | –2 ≤ x < 5}. c) ]1, 7] = {x ∈ ℝ | 1 < x ≤ 7}.

 

5.2 Inequação

 

Inequação é uma relação de desigualdade envolvendo uma ou mais incógnitas.

 

5.2.1 Inequação de 1 o Grau

 

Uma inequação é dita de 1 o grau se é equivalente a

 

ax ≤ b ou ax < b ou ax > b ou ax ≥ b,

 

em que a, b são constantes reais e a ≠ 0. Exemplo: Resolva a inequação 7 – 3x < 10. Solução:

Portanto, S = {x ∈ ℝ | x > –3} é o conjunto solução. Exemplo: Resolva a inequação 2x – 1 ≤ x + 1 ≤ 3x – 1 Solução: Sabemos que temos duas inequações: 1) 2x – 1 ≤ x + 1;

2) x + 1 ≤ 3x – 1.

Resolvendo (1)

 

Logo, S = {x ∈ ℝ | x ≤ 2} é o conjunto solução. 1

Resolvendo (2)

Logo, S = {x ∈ ℝ | x ≥ 1} é o conjunto solução. Agora que obtivemos a 2

solução de 2x – 1 ≤ x + 1 e x + 1 ≤ 3x – 1, temos que o problema inicial requer que as duas inequações sejam satisfeitas simultaneamente, ou seja,

 

5.2.2 Inequação de 2 o Grau

 

Uma inequação é dita de 2 o grau se é equivalente a

ax 2 2 2 2 + bx + c ≤ 0 ou ax + bx + c < 0 ou ax + bx + c > 0 ou ax + bx +

c ≥ 0, em que a, b, c são constantes reais e a ≠ 0. Exemplo: 2 Resolva a inequação x – 5x + 6 ≥ 0. Solução: 2 Inicialmente vamos fatorar a expressão x – 5x + 6, encontrando suas raízes. Sabemos que para encontrar as raízes podemos utilizar a fórmula de Bhaskara, logo:

 

Portanto, temos 2 x – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) ≥ 0. Para resolver essa inequação devemos analisar cada um dos fatores individualmente.

Iniciando para (x – 2), temos que x – 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2, ou seja, esse fator é

positivo quando x > 2 e negativo quando x < 2, valendo zero quando x = 2.

Agora para (x – 3), temos que x – 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3, ou seja, esse fator é

positivo quando x > 3 e negativo quando x < 3, valendo zero quando x = 3.

Para resolver (x – 2)(x – 3) ≥ 0 devemos analisar o produto dos fatores,

para identificar quando é positivo e quando é negativo. Como 2 x – 5x + 6 = 0 quando x = 2 e x = 3, vamos dividir a reta real nos seguintes intervalos: ] – ∞, 2[,]2, 3[ e ]3, ∞[, e analisar o sinal do polinômio em cada um deles.

 

Para facilitar o raciocínio vamos utilizar a seguinte tabela:

 

Fator ] – ∞, 2[ ]2, 3[ ]3, ∞[

 

(x – 2) – + +

 

(x – 3) – – +

 

(x – 2)(x – 3) + – +

 

Portanto, concluímos que 2 x – 5x + 6 ≥ 0 quando x ∈ ] – ∞, 2] ou x ∈ [3, ∞[, ou seja, S = {x ∈ ℝ | x ≤ 2 ou x ≥ 3} é o conjunto solução. Exemplo: 2 Resolva a inequação 0 ≤ x – x ≤ 20. Solução: Sabemos que temos duas inequações: 1) 0 ≤ 2 2 x – x ⇒ x – x ≥ 0;

2) 2 2 x – x ≤ 20 ⇒ x – x – 20 ≤ 0.

Resolvendo (1) temos que 2 x – x = x(x – 1), sendo assim, as raízes são

x = 0 e x = 1. Vamos analisar cada um dos fatores de tal modo que 1 2

satisfaça x(x – 1) ≥ 0.

Iniciando para x, temos que x ≥ 0, ou seja, esse fator é positivo quando x

> 0 e negativo quando x < 0, valendo zero quando x = 0.

Agora para (x – 1), temos que x – 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1, ou seja, esse fator é

positivo quando x > 1 e negativo quando x < 1, valendo zero quando x = 1.

Para resolver x(x – 1) ≥ 0 devemos analisar o produto dos fatores, para

identificar quando é positivo e quando é negativo. Como 2 x – x = 0 quando x = 0 e x = 1, vamos dividir a reta real nos seguintes intervalos: ] – ∞, 0[, ]0, 1[ e ]1, ∞[, e analisar o sinal do polinômio em cada um deles. Utilizando a seguinte tabela, temos que:

 

Fator ]– ∞, 0[ ]0, 1[ ]1, ∞[

 

x – + +

 

(x – 1) – – +

 

x(x – 1) + – +

 

Concluímos que 2 x – x ≥ 0 quando x ∈ ] – ∞, 0] ou x ∈ [1, ∞[, ou seja, S

1

= {x ∈ ℝ | x ≤ 0 ou x ≥ 1}.

Resolvendo (2) vamos inicialmente fatorar a expressão 2 x – x – 20,

encontrando suas raízes. Sabemos que para encontrar as raízes podemos utilizar a fórmula de Bhaskara, logo:

 

Portanto, temos 2 x – x – 20 = (x + 4)(x – 5) ≤ 0. Para resolver essa inequação devemos analisar cada um dos fatores individualmente.

Iniciando para (x – 5), temos que x – 5 ≤ 0 ⇒ x ≤ 5, ou seja, esse fator é

positivo quando x > 5 e negativo quando x < 5, valendo zero quando x = 5.

Agora para (x + 4), temos que x + 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ –4, ou seja, esse fator é

positivo quando x > –4 e negativo quando x < –4, valendo zero quando x = –4.

Para resolver (x – 5)(x + 4) ≤ 0 devemos analisar o produto dos fatores,

para identificar quando é positivo e quando é negativo. Como 2 x – x + 20 = 0 quando x = 5 e x = –4, vamos dividir a reta real nos seguintes intervalos: ] – ∞, –4[, ] –4, 5[ e ]5, ∞[, e analisar o sinal do polinômio em cada um deles. Para facilitar o raciocínio vamos utilizar a seguinte tabela:

 

Fator ] – ∞, –4[ ] – 4, 5[ ]5, ∞[

 

(x + 4) – + +

 

(x - 5) – – +

 

(x + 4)(x – 5) + – +

 

Logo, concluímos que 2 x – x + 20 ≤ 0 quando x ∈ [–4, 5], ou seja, S = {x

2

∈ ℝ | –4 ≤ x ≤ –5} é o conjunto solução.

Agora que obtivemos a solução de 2 2 x – x ≥ 0 e x – x – 20 ≤ 0, temos

que o problema inicial requer que as duas inequações sejam satisfeitas simultaneamente, ou seja,

 

6 Funções Uma função f é uma aplicação que associa a cada elemento x de um conjunto A, um único elemento f (x) de um conjunto de B. O conjunto A é chamado de domínio de f, denotado por D , que é o conjunto de todos os f valores de x para os quais f está bem definida. Já o conjunto B é chamado contradomínio de f, que pode ser qualquer conjunto que contenha, dentre outros elementos, os valores de f(x). Temos também a imagem de f e indica-se por Im f, que é o conjunto de todos os valores de f(x) obtidos a partir de x ∈ A. É possível representar graficamente a função f, ou seja, o gráfico de f é o conjunto dos pares ordenados (x, f (x)), tal que x ∈ A.

 

Características de uma Função: Seja f : A → B. Temos que:

• Todo elemento x ∈ A deve estar associando a um elemento y ∈ B.

• Nem todo elemento de B precisa estar associado a um elemento de A.

• Um elemento de B pode estar associado a mais de um elemento de A.

• Nenhum elemento de A pode estar associando a mais de um elemento

de B.

 

Uma função de uma variável real a valores reais é dada por f : A → B, em que A e B são subconjuntos de ℝ. Além disso, é comum denotarmos uma função desse tipo simplesmente por y = f (x), x ∈ A.

 

6.1 Operações com Funções

 

Dadas as funções f e g, tais que D ∩ D ≠ Ø, definimos as operações: f g

• Soma de f e g: a função f + g dada por:

 

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

 

para todo x ∈ D ∩ D . f g

• Produto de f e g: a função fġ dada por:

(f ġ)(x) = f (x)ġ(x)

 

para todo x ∈ D ∩ D . f g

• Quociente de f e g: a função dada por:

 

para todo x ∈ D ∩ D tal que g(x) ≠ 0. f g

• Produto de f pela constante k: a função kf dada por:

 

(k f )(x) = k  f (x)

 

para todo x ∈ D . f

 

Além destas operações, definimos também a composição de duas

funções da seguinte forma: dadas as funções f e g tais que Im f ⊂ D , a g função composta de g e f, g o f, é dada por:

 

(g o f )(x) = g ( f (x))

 

para x ∈ D . f

 

6.2 Algumas Funções

 

Função Afim

Uma função f : ℝ → ℝ é chamada de função afim se puder ser escrita da forma f(x) = ax + b, em que a, b são constantes. O gráfico desta função passa pelo ponto (0, b) e é paralela à reta y = ax. Além disso, a função é crescente quando a > 0 e decrescente quando a < 0.

 

Função Modular A função modular é uma função definida por partes, representada por f(x) = | x |, dada por

 

Analisando a função temos que, D = ℝ, Im = [0, ∞), f é crescente em f f

(0, ∞) e decrescente em (–∞, 0).

 

Função Quadrática

Uma função 2 f : ℝ → ℝ dada por f ( x ) = ax + bx + c, em que a, b, c são coeficientes e a ≠ 0, denomina-se função quadrática.

O gráfico da função quadrática é uma parábola, e sua posição no plano

cartesiano depende diretamente dos coeficientes a, b, c. O coeficiente a determina se a concavidade da parábola está para cima ou para baixo, ou seja, se a > 0, a parábola é côncava para cima, agora se a < 0, a parábola é côncava para baixo. O coeficiente c determina o ponto em que a parábola intercepta o eixo y, que é o ponto (0, c). O coeficiente b se refere à inclinação da parábola após passar pelo eixo y.

As raízes x e x da função são determinadas resolvendo a equação 1 2

ax 2 + bx + c = 0, ou seja, f (x) = 0, que determina os pontos em que a parábola intercepta o eixo x, sendo eles (x , 0) e (x , 0). 1 2

O vértice da parábola é o ponto de máximo ou mínimo dependendo da

concavidade, denotado por 2 V = ( x , y ). Como o gráfico de f ( x ) = ax +

v v

bx + c é simétrico, temos que para determinar x basta fazer a média v aritmética das raízes da função, ou seja,

 

Agora, para determinar y , basta substituir x na função, ou seja, v v

 

Exemplo: 2 Considere a função f ( x ) = x + 1, determine o domínio, a imagem de f e construa o gráfico. Solução: 2 A expressão x + 1 pode ser calculada para qualquer valor de x ∈ ℝ. Sendo assim,

 

D = ℝ. f

 

Por outro lado, temos que 2 2 x > 0 para todo z ∈ ℝ , logo, x + 1 ≥ 1. Portanto,

Im f = { Y ∈ ℝ|y > 1}.

 

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