6.3 Produto Escalar. Perpendicularismo

A2) (x, y) + (s, t) = (s, t) + (x, y)

A3) (x, y) + (0, 0) = (x, y)

A4) (x, y) + (–1)(x, y) = (0, 0)

M1) α[β(x, y)] = αβ(x, y)

M2) α[(x, y) + (s, t)] = α(x, y) + α(s, t) M3) [α + β](x, y) = α(x, y) + β(x, y) M4) 1·(x, y) = (x, y).

 

Observação. Uma estrutura de espaço vetorial sobre um conjunto não vazio V ca determinada

quando se de nem em V duas operações, uma de adição e outra de multiplicação de um elemento de

V por um escalar, satisfazendo as oito propriedades acima listadas. As operações anteriormente

de nidas determinam, então, sobre o uma estrutura de espaço vetorial real; seus elementos

podem, então, ser chamados de vetores.

 

6.3 Produto Escalar. Perpendicularismo

 

De nição 1. O número

 

a 1 a 2 + b 1 b 2

 

denomina-se produto escalar dos vetores (a , b ) e (a , b ) e indica-se por (a , b ) · (a , b ). 1 1 2 2 1 1 2 2

Assim,

 

(a 1 , b 1 )·(a 2 , b 2 ) = a 1 a 2 + b 1 b 2 .

 

Exemplo 1

O produto escalar dos vetores (2, 3) e (1, 5) é

 

(2, 3)·(1, 5) = 2·1 + 3·5 = 17.

 

Observe que o produto escalar de dois vetores é um número.

 

Sejam os vetores e seja λ um

escalar; são de verificação imediata as seguintes propriedades do produto escalar:

 

Estamos interessados, a seguir, em definir perpendicularismo ou

ortogonalismo entre vetores do . Consideremos os vetores

. Vamos olhar estes dois vetores apli cados no ponto

P = (x, y) do plano.

 

A e B são extremidades de , respectivamente. Temos

 

e

Assim,

 

 

A = (x + a , y + b ) e B = (x + a , y + b ) 1 1 2 2

 

Vamos, agora, aplicar a lei dos cossenos ao triângulo APB para determinar cos θ. Temos

 

em que AB é a distância de A a B, AP de A a P e PB de P a B. Como

 

e

 

segue que

 

ou seja,

Daí, os vetores serão perpendiculares se e somente se o produto escalar de (a , b ) com (a , b ) for nulo. Nada mais natural, 1 1 2 2 então, do que a seguinte definição.

 

De nição 2. Dizemos que os vetores (a 1 , b 1 ) e (a 2 , b 2 ) são perpendiculares ou ortogonais se

 

(a , b )·(a , b ) = 0. 1 1 2 2

 

Vejamos como fica, em notação de produto escalar, a equação da reta r que passa pelo ponto P = (x , y ) e que é perpendicular à direção do vetor 0 0 0

. Vamos olhar como um vetor aplicado no ponto P = (x , 0 0

y ). 0

 

O ponto P = (x, y) pertence à reta r se e somente se o vetor P – P for 0 perpendicular a . Assim, a equação da reta que passa pelo ponto P = 0 (x , y ) e é perpendicular à direção do vetor 0 0

 

ou seja, De segue que a equação acima é equivalente

a

 

ax + by = c

 

com c = ax + by . E é um vetor perpendicular à tal reta. 0 0

 

Exemplo 2

 

Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1, 2) e que é

perpendicular à direção do vetor = (–1, 3).

 

Solução

A equação da reta é

 

em que , P = (x, y) e P = (1, 2). Assim, a equação da reta é 0

 

(–1, 3)·[(x, y)–(1, 2)] = 0

 

ou

 

–(x – 1)+3(y – 2) = 0

 

ou ainda

 

–x + 3y – 5 = 0.

 

Consideremos, agora, o vetor , com (m, n) ≠ (0, 0), aplicado no

ponto P = (x , y ). Na figura seguinte, representamos a reta r que passa pelo 0 0 0

ponto P = (x , y ) e que tem a direção do vetor . 0 0 0

Por semelhança de triângulos, para todo P = (x, y) na reta r, existe t tal que

 

Pois bem,

 

são as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P = (x , y ) e é 0 0 0 paralela à direção do vetor . Em notação vetorial, esta reta pode ser

expressa na forma

 

Exemplo 3

 

Determine a equação, na forma vetorial, da reta que passa pelo ponto (3,

–1) e que é perpendicular à reta 2x – 3y = 7.

 

Solução

 

é perpendicular à reta 2x – 3y = 7.

 

O que queremos, então, é a reta que passa pelo ponto (3, –1) e que seja

paralela ao vetor (2, –3). Assim, a equação da reta pedida é

No , os conceitos de produto escalar e de ortogonalismo são

 

análogos aos do :

 

No espaço, a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (x , y , 0 0

z ) e que é paralela à direção do vetor é 0

 

A equação do plano que passa pelo ponto P = (x , y , z ) e que é 0 0 0 0

perpendicular à direção do vetor é

 

ou

 

Observe que o plano de equação

 

ax + by + cz = d

 

é perpendicular à direção do vetor .

 

Exercícios 6.3

Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1, 2) e que

1.

seja paralela à direção do vetor .

 

2. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (1, –1)

e que é perpendicular à reta 2x + y = 1.

 

3. Determine um vetor cuja direção seja paralela à reta 3x + 2y = 2.

 

4. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto e

que seja paralela à reta 3x + 2y = 2.

 

5. Determine um vetor cuja direção seja paralela à reta dada.

 

a) x – 2y = 3

 

b) x + y = 1

 

c) 2x – 5y = 4

 

d) x + 2y = 3

 

6. Determine um vetor cuja direção seja perpendicular à reta dada.

 

a) 2x + y = 1

b) 3x – y = 3

 

c) x + 3y = 2

 

d) 2x – 3y = 1.

 

7. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e

que seja paralela à reta dada.

 

a) (2, –5) e x – y = 1

 

b) (1, –2) e 2x + y = 3.

8. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e

que seja perpendicular à reta dada.

 

a) (1, 2) e 2x + y = 3

 

b) (2, –2) e x + 3y = 1.

 

9. Determine a equação do plano que passa pelo ponto dado e que

seja perpendicular à direção do vetor dado.

 

a) (1, 1, 1) e = (2, 1, 3)

 

b) (2, 1, –1) e = (–2, 1, 2)

 

10. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e

que seja perpendicular ao plano dado.

 

a) (0, 1, –1) e x + 2y – z = 3

 

b) (2, 1, –1) e 2x + y + 3z = 1

 

11. Sejam dois vetores do . Definimos

o produto vetorial de , que se indica , por

em que . Verifique que

 

12. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (1, 2, –

1) e que seja perpendicular às direções dos vetores

.

 

13. Determine um vetor não nulo que seja ortogonal aos vetores

dados.

 

14. Determine a equação do plano que passa pelo ponto dado e que

seja paralelo aos vetores e dados.

 

15. Sejam dados Verifique

que