15.5 Polinômio de Taylor de Ordem 2

em que P (x, y) é o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta 1

de (x 0 , y 0 ).

9. Considere o polinômio P(x,y) = a(x–x ) + b(y–y )+c, com a, b, c, 0 0

x e y constantes. Suponha que exista M > 0 tal que, para todo 0 0

(x, y),

Prove que 2 P ( x , y ) = 0 em ℝ .

10. 2 2 Seja f ( x , y ) de classe C no aberto A ⊂ ℝ e seja (x , y ) um

0 0

ponto de A. Seja o polinômio P(x,y) = a(x–x ) + b(y–y )+c, com 0 0 a, b e c constantes. Suponha que existam M > 0 e uma bola aberta B de centro (x , y ), com B ⊂ A, tal que, para todo (x, y) em B, 0 0

Prove que P é o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de (x 0 , y 0 ).

15.5 Polinômio de Taylor de Ordem 2

Suponhamos 3 2 f ( x , y ) de classe C no aberto A ⊂ ℝ . Sejam (x , y ) , (x + h,

0 0 0

y + k) e g (t) = f (x + ht, y + kt) como na seção anterior. Pela fórmula de 0 0 0

Taylor, com resto de Lagrange, para funções de uma variável segue que para algum t em ]0, 1[.

Vimos no parágrafo anterior que

e

em que x = x + ht e y = y + ht. Deixamos a seu cargo verificar que 0 0

em que x = x + ht e y = y + ht. Temos: 0 0

para algum (x,y) interno ao segmento de extremidades (x , y ) e (x + h, y + 0 0 0 0 k).

Demonstramos assim o seguinte

Teorema. 3 2 Seja f ( x , y ) de classe C no aberto A ⊂ ℝ e sejam (x ∈ , y ) A e (h, k) ≠ (0, 0) tais

0 0

que o segmento de extremidades (x , y ) e (x + h, y + k) esteja contido em A. 0 0 0 0

Nestas condições,

para algum (x,y) interno ao segmento de extremidades (x , y ) e (x + h, y + k). 0 0 0 0

O polinômio

denomina-se polinômio de Taylor de ordem 2 de f em volta de (x , y ). 0 0

Fazendo x = x + h e y = y + k no teorema acima, resulta: 0 0

em que

para algum (x,y) interno ao segmento de extremidades (x , y ) e (x, y). 0 0

Exercícios 15.5

1. Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em

volta do ponto (x , y ) dado. 0 0

a) f(x,y) = x sen y e (x , y ) = (0, 0). 0 0

b f 3 2 3 ( x,y ) = x + 2 x y + 3 y + x – y e (x , y ) = (1, )

0 0

1).

2. 3 2 3 Expresse o polinômio f ( x,y ) = x + 2 x y + 3 y + x – y como

soma de termos do tipo p q a ( x – 1) ( y – 1) .

3. Seja P (x, y) o polinômio de Taylor de ordem 2 de f(x,y) = x sen y 2

em volta de (0, 0). Mostre que

para todo (x, y), com | x | < 1.

4. 3 2 Seja f ( x , y ) de classe C no aberto A ⊂ ℝ e seja (x , y ) um

0 0

ponto de 3 A (lembre-se de que f de classe C em A significa que todas as derivadas parciais de ordem 3 são contínuas em A). Prove que existem uma bola aberta B de centro (x , y ) , com B 0 0 ∈ A, e um número M > 0 tais que, para todo (x, y) ∈ B,

em que P (x, y) é o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em volta de (x , y ). 2 0 0 Conclua que em que E(x,y) = f(x,y)–P (x, y); isto é, o erro E(x, y) tende a zero mais 2