12.2 Derivação de Funções Definidas Implicitamente. Teorema das Funções Implícitas

a) Verifique que a função g (u, v) dada por g(u, v =

 

f(x, y, em que x = u + v e y = u, é tal que em

 

ℝ 2 . Conclua que g(u, v) = φ(v) para alguma função φ, definida e diferenciável em ℝ.

 

b) Determine uma família de soluções da equação .

 

12.2 Deriva o de Fun ões Definidas Implicitamente.

Teorema das Fun ões Impl citas

Como já vimos, a função y = g(x) é definida implicitamente pela equação f (x, y) = 0 se, para todo x ∈ D , g

 

f(x, g(x)) = 0.

 

Admitindo que f e g sejam diferenciáveis, vamos deduzir uma fórmula para o cálculo de g′(x) em todo x ∈ D , para os quais Então, g

derivando em relação a x os dois membros da equação anterior, obtemos,

 

ou

e, portanto,

 

 

Da mesma forma, x = h(y) é definida implicitamente pela equação f (x, y) =

0 se, para todo y ∈ D , h

 

f(h(y, y) = 0.

 

Supondo f e h diferenciáveis e derivando os dois membros da equação acima em relação a y, obtemos:

 

ou

 

e, portanto,

Exemplo 1

 

 

A função diferenciável y = y(x) é definida implicitamente pela equação

 

y 3 3 + xy + x = 3.

 

Expresse em termos de x e de y.

 

Solução

1 o processo

 

ou seja,

 

em todo 2 x no domínio de y = y ( x ), com 3( y ( x )) + x ≠ 0.

2 o processo

ou

 

Exemplo 2

 

Suponha que a função diferenciável z = g (x, y) seja dada implicitamente

pela equação 3 f ( x , y , z ) = 0, em que f é diferenciável num aberto de ℝ .

Verifique que

 

Solução

a) Para todo (x, y) ∈ D g

Derivando em relação a x os dois membros da equação, obtemos:

 

ou

 

b) Derivando os dois membros de em relação a y, obtemos

 

ou

 

e, portanto,

Exemplo 3

 

A função diferenciável z = z(x, y) é dada implicitamente pela equação

 

Expresse em termos de x, y e z.

 

Solução

1 o processo

 

Pela parte a) do exemplo anterior

 

2 o processo

 

assim,

 

ou seja,

Exemplo 4

 

 

As funções diferenciáveis y = y(x) e z = z(x), definidas no intervalo

aberto I, são dadas implicitamente pelo sistema

 

em que 3 F e G são supostas diferenciáveis num aberto de ℝ . Expresse

em termos das derivadas parciais de F e de G.

 

Solução

Dizer que y = y (x) e z = z (x) estão definidas implicitamente por

significa que, para todo x em I,

 

ou seja, significa que a imagem da curva γ(x) = (x, y(x), z(x)) está contida

na interseção das superfícies F(x, y, z) = 0 e G(x, y, z) = 0.

Para obter , vamos derivar em relação a x os dois membro de

. Temos, então:

 

ou seja,

 

Pela regra de Cramer,

 

Notações

O símbolo é usado para indicar o determinante jacobiano de F e

G em relação a y e z:

 

Da mesma forma:

 

Com estas notações, se escrevem:

 

Exemplo 5

 

Sejam y = y (x) e z = z (x) diferenciáveis em ℝ e dadas implicitamente

pelo sistema

 

a) Calcule

Determine um par de funções y = y(x) e z = z(x) que sejam dadas

b) implicitamente pelo sistema .

 

Solução

a) Para obtermos , vamos derivar os dois membros de em

relação a x, observando que y e z são funções de x:

 

Assim,

 

Resolvendo o sistema obtemos:

 

(Sugerimos ao leitor calcular utilizando o exemplo anterior.)

 

Resolvendo o sistema nas incógnitas y e z obtemos:

 

Observe que a imagem de

é a reta na interseção dos planos 2x + y – z = 3 e x + y + z = 1.

 

 

Exemplo 6

 

Sejam y = y (x) e z = z (x), z > 0, diferenciáveis e dadas implicitamente

pelo sistema

 

a) Expresse em termos de x, y e z.

b) Expresse y e z em função de x.

c) Desenhe a imagem da curva γ (x) = (x, y (x), z(x)).

 

Solução

 

Assim,

 

Resolvendo o sistema obtemos:

A imagem de γ está contida na interseção do plano x + y = 1 com a superfície esférica 2 2 2 x + y + z = 1.

 

Até agora, o problema referente a uma função y = g (x) dada implicitamente

por uma equação F (x, y) = 0 era colocado da seguinte forma: suponha y = g (x) diferenciável e definida implicitamente pela equação F (x, y) = 0; calcule

Evidentemente, só terá significado se realmente F (x, y) = 0 definir

implicitamente alguma função 2 2 y = g ( x ). Por exemplo, x + y = –3 não define implicitamente função alguma; logo, não terá, neste caso, nenhum

significado.

O teorema que vamos enunciar a seguir fornece-nos uma condição

suficiente para que a equação F (x, y) = 0 defina implicitamente uma função diferenciável y = g (x). Antes, porém, vamos ver alguns exemplos.

 

Exemplo 7

Seja 1 2 F ( x , y ) de classe C num aberto A de ℝ e seja (x , y ) ∈ A, com

0 0

F (x , y ) = 0. Suponha que Prove que existem 0 0

intervalos abertos I e J, com x ∈ I e y ∈ J, tais que, para cada x ∈ I, 0 0

existe um único g (x) ∈ J, com F (x, g (x)) = 0.

 

Solução

é contínua, pois, por hipótese, 1 F é de classe C . Como

 

pelo teorema da conservação do sinal existe uma bola

aberta B de centro (x , y ), que podemos supor contida em A, pois A é 0 0

aberto, tal que

 

Sejam y e y tais que y < y < y , com (x , y ) e (x , y ) em B. 1 2 1 0 2 0 1 0 2

Fixado x , consideremos a função 0

 

Como para todo y ∈ [ y , y ], segue que é 1 2

estritamente crescente em [ y , y ]. Tendo em vista que F(x , y ) = 0, 1 2 0 0

resulta:

Seja J = ] y , y [; observe que y = g (x ) é o único número em J tal 1 2 0 0

que F(x , y ) = 0. Tendo em vista e pela continuidade de F, existe 0 0

um intervalo aberto I, com x ∈ I, tal que para todo x ∈ I, (x, y ) e (x, 0 1

y ) pertencem a B, com F(x, y ) < 0 e F(x, y ) > 0. 2 1 2

 

Como em B, para todo x ∈ I, a função

 

é estritamente crescente em [ y , y ]; tendo em vista que F(x, y ) < 0 e 1 2 1

F(x, y ) > 0 pelo teorema do valor intermediário e pelo fato de ser 2

estritamente crescente em [ y , y ], existirá um único g (x) ∈ ] y , y [ 1 2 1 2

tal que F(x, g (x)) = 0 (veja figura seguinte).

A função g : I → J está definida implicitamente pela equação F(x, y) = 0.

 

Observação. Para todos y e y , com y < y < y < y < y , procedendo como 1 2 1 1 0 2 2 acima, encontraremos um intervalo aberto I ⊂ I, com x ∈ I , tal que 1 0 1

 

logo, g é contínua em x . Deixamos a seu cargo veri car que g é contínua em todo x ∈ I. 0

 

Exemplo 8

 

Suponha F(x, y) diferenciável em (x , y ). Prove que existem funções 0 0

φ (x, y) e φ (x, y), definidas em D , tais que 1 2 F

 

com

Solução

Pelo lema da Seção 12.1,

 

Para (x, y) ≠ (x , y ). 0 0

 

Basta tomar

 

e

 

Exemplo 9

 

Prove que a função g do Exemplo 7 é diferenciável em x e que 0

Solução

Substituindo y = g (x) e y = g (x ) em do Exemplo 8 e lembrando 0 0

que F(x, g(x)) = 0 e F(x , g(x )) = 0 resulta, após dividir por x – x (x ≠ 0 0 0

x ): 0

 

Pelo fato de g ser contínua em resulta:

 

Teorema das funções implícitas 1 (Caso F ( x , y ) = 0). Seja F ( x , y ) de classe C num aberto A de

ℝ 2 e seja (x , y ) ∈ A, com F(x , y ) = 0. Nestas condições, se então

0 0 0 0

existirão intervalos abertos I e J, com x ∈ 0 I e y ∈ 0 J, tais que, para cada x ∈ I, existe um único g

(x) ∈ J, com F (x, g(x)) = 0. A função g : I → J é diferenciável e

Demonstração

 

Veja Exemplos 7, 8 e 9.

 

■

 

Observação. Se a hipótese for substituída por então

 

existirão intervalos abertos I e J, com x ∈ I e y ∈ J, tais que, para cada y ∈ J, existirá um único 0 0

h(y) ∈ I, com F(h(y), y) = 0 A função h : J → I será diferenciável e

 

Teorema das funções implícitas 1 (Caso F ( x , y , z ) = 0). Seja F ( x , y , z ) de classe C no aberto A de

ℝ 3 e seja (x , y , z ) ∈ A, com F(x , y , z ) = 0. Nestas condições, se

0 0 0 0 0 0

então existirão uma bola aberta B de centro (x , y ) e um intervalo aberto J, com z ∈ J, tais que, 0 0 0

para cada (x, y) ∈ B, existe um único g(x, y) ∈ J com F(x, y, g(x, y) = 0 A função z = g(x, y), (x, y) ∈

B é diferenciável e

Demonstração

 

Deixamos a cargo do leitor adaptar a demonstração do teorema anterior a este caso.

 

■

 

Observação. 1 Note que, pelo fato de F ser de classe C e g contínua, as funções

 

serão contínuas em B; logo,

 

serão, também, contínuas em 1 B , isto é, g é de classe C em B.

 

Teorema das funções implícitas (Caso F(x, y, z) = 0 e G(x, y, z) = 0). Sejam F(x, y, z) e G(x, y, z)

de classe 1 3 C no aberto A de ℝ e seja (x , y , z ) ∈ A, com F(x , y , z ) = 0 e G(x , y , z ) =

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0. Nestas condições, se em (x , y , z ), então existirão um intervalo aberto I, com 0 0 0

x 1 ∈ I , e um par de funções y = y ( x ) e z = z ( x ) de nidas e de classe C em I, tais que, para todo x

0

∈ I, F(x, y (x), z(x)) = 0 e G(x, y (x), z(x)) = 0; além disso, y 0 = y (x 0 ) e z 0 = z (x 0 ). Tem-se, ainda:

sendo que os determinantes jacobianos devem ser calculados em (x, y (x), z (x)).

 

 

Demonstração

Como 1 F e G são classe C em A, e

 

F(x, y, z) = 0

 

define implicitamente uma função 1 z = g ( x , y ), ( x , y ) ∈ B , sendo g de classe C

na bola aberta B de centro (x , y ) e z = g(x , y ). Consideremos, agora, a 0 0 0 0 0 função

 

H(x, y) = G(x, y, g(x, y)), (x, y) ∈ B.

 

Temos: 1 H ( x , y ) é de classe C , (verifique).

Segue que a equação

H(x, y) = 0, ou seja, G(x, y, g (x, y)) = 0

 

define implicitamente uma função 1 y = y ( x ), x ∈ I , sendo y ( x ) de classe C no

intervalo aberto I e y = y (x )(x ∈ I). Deixamos para o leitor completar a 0 0 0 demonstração.

 

■

No Vol. 3, voltaremos aos teoremas da função implícita e da função

inversa.

 

Exercícios 12.2

 

1. 3 3 A equação y + xy + x = 4 define implicitamente alguma função

diferenciável y = y (x)? Em caso afirmativo, expresse em

termos de x e y.

 

(Sugestão: Observe que satisfaz a equação e utilize o

teorema das funções implícitas (caso F(x, y) = 0).)

 

2. Mostre que cada uma das equações seguintes define

implicitamente pelo menos uma função diferenciável y = y (x). Expresse em termos de x e y.

 

a 2 ) x y + sen y = x

 

b) 4 2 2 4 y + x y + x = 3

3. Mostre que cada uma das equações a seguir define implicitamente

pelo menos uma função diferenciável z = z (x, y). Expresse

em termos de x, y e z.

 

a x + y + z ) e + xyz = 1

 

b 3 3 3 ) x + y + z = x + y + z

 

4. Suponha que y = y (x) seja diferenciável e dada implicitamente

pela equação 2 2 x = F ( x + y , y ), em que F(u, v) é suposta diferenciável. Expresse em termos de x, y e das derivadas

parciais de F.

 

5. Suponha que y = g (x) seja diferenciável no intervalo aberto I e

dada implicitamente pela equação f (x, y) = 0, em que f (x, y) é suposta de classe 2 C . Suponha, ainda, em D .

f

 

a) Prove que é uma condição necessária

 

para que x seja ponto de máximo local de g. 0

 

b) Prove que g″ é contínua em I.

 

c) Prove que

é condição suficiente para que x seja ponto de máximo local de 0 g.

 

 

6. A função diferenciável z = z(x, y) é dada implicitamente pela

equação em que f (u, v) é suposta diferenciável e

 

Verifique que

 

7. A função diferenciável z = z(x, y) é dada implicitamente pela

equação um real fixo), em que f (u, v) é suposta

 

diferenciável e Verifique que

8. Suponha que as funções diferenciáveis y = y (x) e z = z (x) sejam

dadas implicitamente pelo sistema

 

a) Expresse em termos de x, y e z.

 

b) Determine um par de funções y = y (x) e z = z (x)

dadas implicitamente por .

9. Suponha que x = x (u, v) e y = y (u, v) sejam dadas implicitamente

pelo sistema

 

Mostre que

 

10. Sejam Calcule o determinante jacobiano

 

11. Calcule:

 

12. Seja g (u, v) = f (x, y), em que x = x(u, v) e y = y (u, v) são dadas

implicitamente pelo sistema

b) Calcule

 

 

c) Mostre que f é constante sobre as hipérboles xy = c.

 

13. Sejam x = x(u, v) e y = y (u, v) dadas implicitamente pelo sistema

 

a) Expresse em termos de x e y.

 

b) Determine um par de funções x = x (u, v) e y = y

(u, v) definidas implicitamente por .

 

14. Sejam x = x(y, z), y = y (x, z) e z = z(x, y) definidas implicitamente

pela equação F(x, y, z) = 0. Suponha x 0 = x(y 0 , z 0 ), y 0 = y (x 0 , z ) e z = z(x , y ) e que no ponto (x , y , z ) as derivadas 0 0 0 0 0 0 0 parciais de F sejam diferentes de zero. Mostre que 15. Sejam x = x(u, v) e y = y (u, v) definidas implicitamente pelo

sistema

 

a) Expresse em termos de x, y e u.

 

b) Determine um par de funções x = x (u, v) e y = y

(u, v) definidas implicitamente pelo sistema.

 

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