13.2 Gradiente de Função de Três Variáveis: Interpretação Geométrica

a) Com argumentos geométricos, mostre que é

razoável esperar que g seja estritamente decrescente em I.

 

b) Prove que g é estritamente decrescente em I.

 

13.2 Gradiente de Função de Três Variáveis:

Interpretação Geométrica

 

Seja 1 3 f ( x , y , z ) de classe C num aberto A ⊂ ℝ e seja (x , y , z ) um ponto

0 0 0

da superfície de nível f (x, y, z) = c; suponhamos ▽f (x , y , z ) ≠ (0, 0, 0). 0 0 0 Vamos mostrar que ▽f (x , y , z ) é normal em (x , y , z ) a toda curva γ, 0 0 0 0 0 0 diferenciável, passando por este ponto e cuja imagem esteja contida na superfície de nível f (x, y, z) = c. Seja, então, γ (t), t ∈ I, uma tal curva, com γ (t ) = (x , y , z ); como estamos supondo que a imagem de γ está contida na 0 0 0 0

superfície de nível f (x, y, z) = c, teremos

 

para todo t no domínio de γ. Derivando, em relação a t, ambos os membros da equação obtemos, para todo t ∈ I,

Fica provado assim que ▽f (x , y , z ) é normal em (x , y , z ) a toda curva 0 0 0 0 0 0 diferenciável γ passando por este ponto e com imagem contida na superfície f (x, y, z) = c. Diremos, então, que ▽f (x , y , z ) é normal à superfície de nível 0 0 0 f (x, y, z) = c, no ponto (x , y , z ). O plano passando pelo ponto (x , y , z ) 0 0 0 0 0 0 e perpendicular ▽f (x , y , z ) denomina-se plano tangente, em (x , y , z ), 0 0 0 0 0 0 à superfície f (x, y, z) = c. A equação deste plano é:

 

A reta

 

denomina-se reta normal, em (x , y , z ), à superfície f (x, y, z) = c. 0 0 0

Seja z = g (x, y) uma função diferenciável dada implicitamente pela

equação 1 F ( x , y , z ) = 0 em que F ( x , y , z ) é suposta de classe C num aberto de ℝ 3 ; seja (x , y , z ), z = g (x , y ), um ponto do gráfico de g, com

0 0 0 0 0 0

Como o gráfico de g está contido na superfície F (x, y, z) = 0,

resulta que toda curva γ com imagem contida no gráfico de g tem, também, sua imagem contida na superfície F (x, y, z) = 0; assim, ▽F (x , y , z ) é normal 0 0 0 ao gráfico de g, em (x , y , z ). 0 0 0

Observe que se γ (t) é uma curva diferenciável com imagem contida na

interseção das superfícies F(x, y, z) = 0 e G (x, y, z) = 0, em que F e G são supostos de classe 1 3 C num aberto de ℝ e então o vetor tangente a γ em γ (t ) = (x , y , z ), é paralelo a 0 0 0 0

(verifique).

 

Exemplo 1

 

Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície

xyz 3 3 3 + x + y + z = 3z no ponto (1, –1, 2).

Solução

 

Plano tangente em (1,–1, 2):

 

ou

 

ou seja,

 

ou, ainda,

 

Reta normal em (1, –1, 2):

 

Exemplo 2

Considere a função z = f (x, y) dada por

Determine a equação do plano tangente no ponto (1, 1, f (1, 1)).

 

Solução

 

é a equação do plano tangente em (1, 1, f (1, 1)).

2 o processo

 

A função é então definida implicitamente pela equação

 

▽F(1, 1, 2) é, então, normal ao gráfico de f no ponto (1, 1, f (1, 1)).

 

A equação do plano tangente em (1, 1, 2) é:

ou

 

ou, ainda,

 

Exemplo 3

 

A imagem da curva 2 γ ( t ) está contida na interseção das superfícies x +

2 2 2 y + z = 4 e x + y + z = 3. Suponha

 

a) Determine a reta tangente a γ no ponto γ (t ). 0

b) Determine uma curva γ (t) nas condições acima.

 

Solução

a) Sejam

Para todo t no domínio de γ devemos ter

 

F (γ (t)) = 4 e G (γ (t)) = 3,

 

pois a imagem de γ está contida nas superfícies de nível F(x, y, z) = 4 e G(x, y, z) = 3. Segue que

 

ou seja, γ′ (t ) é normal aos vetores ▽F(1, 1, 1) e ▽G (1, 1, 1); logo, 0

γ′ (t ) é paralelo ao produto vetorial ▽ F(1, 1, 1) ∧ ▽ G (1, 1, 1). 0

Temos:

A equação da reta tangente a γ no ponto γ (t ) = (1, 1, 1) é: 0

 

 

e, portanto, 2 2 y – y – 1 = 0, ou seja, y = 1 ou isto é, y não depende de x. Como a

curva deve passar pelo ponto (1, 1, 1), vamos tornar y = 1. Segue que z 2 2 = 3 – x – 1, ou seja, z = 2 – x . A imagem da curva γ (t) = (t, 1, 2 – 2 t ) está contida na interseção das superfícies e passa pelo ponto (1, 1, 1). Sugerimos ao leitor desenhar a imagem de γ.

 

Exercícios 13.2

 

1. Determine as equações do plano tangente e da reta normal à

superfície dada, no ponto dado.

 

a 2 2 2 ) x + 3 y + 4 z = 8 em (1, –1, 1) b) 2xyz = 3 em

 

c) x – y 3 ze + z = 2 em (2, 2, 1)

 

2. A função diferenciável z = f (x, y) é dada implicitamente pela

equação 3 3 3 x + y + z = 10. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (1, 1, f (1, 1)).

 

3. Determine um plano que seja tangente à superfície

e paralelo ao plano x + y + z = 10.

 

4. É dada uma função diferenciável z = f (x, y) cujo gráfico está

contido na superfície 2 2 2 x + y + z = 1. Sabe-se que

 

Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto

 

5. A imagem da curva γ (t) está contida na interseção das superfícies

x 2 2 2 2 2 2 + y + z = 3 e x + 3 y – z = 3. Suponha γ (t ) = (1, 1, 1) e

0

Determine a reta tangente a γ em γ (t ). 0

 

6. A imagem da curva γ (t) está contida na interseção da superfície

cilíndrica 2 2 2 2 2 x + y = 2 com a superfície esférica x + y + z = 3.

Suponha γ (t ) = (1, 1, 1) e γ′ (t ) ≠ 0. 0 0

 

a) Determine a reta tangente a γ em γ (t ). 0

 

b) Determine uma curva γ (t) satisfazendo as

condições acima.

 

7. É dada uma curva γ (t) cuja imagem é a interseção das superfícies

4 2 2 x + y = 1 e x + y + z = 1. Suponha γ (t ) = (0, 1, 0) e γ′ (t ) ≠

0 0

0.

 

a) Determine a reta tangente a γ em γ (t ). 0

 

b) Determine uma parametrização para a interseção

acima.

 

8. Considere a função

 

a) Determine uma função F(x, y, z), que não envolva

radicais, tal que a função dada seja definida implicitamente pela equação F(x, y, z) = 0.

 

b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico

da função dada no ponto (2, 2, 1).