Um Curso de Cálculo, Volume 2
A.2 Definição de eλt, com λ Complexo
Exercício
Sejam f e g duas funções a valores complexos, definidas e deriváveis num intervalo I. Prove que, para todo t em I, tem-se:
A.2 λt Definição de e , com λ Complexo
Seja λt λ um número real; já vimos que u ( t ) = e é a única função definida em ℝ e que é solução do problema.
Suponhamos, agora, λ = α + iβ, em que α e β são constantes reais.
Vamos mostrar a seguir que
é a única função de ℝ em ℂ que é a solução do problema
Vamos mostrar que v(t) = u(t) em ℝ. Temos:
Assim, existe uma constante complexa k tal que, para todo t em ℝ,
Como v(0) = u(0) = 1, resulta k = 1. Portanto,
v(t) = u(t) em ℝ.
Fica provado que αt u ( t ) = e (cos βt + i sen βt) é a única função de ℝ em ℂ satisfazendo .
Nada mais natural do que a seguinte definição.
De nição. Seja λ = α + iβ, com α e β reais. De nimos
para todo t real.
Fazendo t = 1 na definição acima resulta:
Se α = 0
Seja α+iβ α z = e . Observe que | z | = e e que β é um argumento de z:
Seja λ uma constante complexa. Do que vimos anteriormente resulta:
O próximo exemplo mostra-nos que a propriedade é válida em ℂ.
Exemplo 1
Sejam λ e λ complexos dados. Mostre que 1 2
Solução
é a única função de ℝ em ℂ que satisfaz o problema
Por outro lado, , t ∈ ℝ também satisfaz (verifique).
Portanto, para todo t real,
Em particular, para t = 1,
Exemplo 2
Verifique que, para todo t real,
Solução
Sendo λ ≠ 0 uma constante complexa, de segue
Exemplo 3
Calcule:
Solução
Exemplo 4
Mostre que
Solução
Por outro lado,
Segue que
Temos, também,
Assim,
Temos:
ou seja,
Exemplo 5
Solução
Os módulos de α z e z são iguais a e . O vetor 0 é obtido de 0 por
1 z1 z
uma rotação de θ radiano, no sentido anti-horário.
Exemplo 6
Sejam z e z dois números complexos com argumentos β e β , 1 2 1 2
respectivamente. Seja z = z · z . 1 2
a) Verifique que | z | = | z | | z |. 1 2
b) Mostre que β + β é um argumento de z. 1 2
Solução
Sejam a um número complexo dado e f : I → ℂ uma função
contínua dada, em que I é um intervalo de ℝ. Consideremos a equação diferencial linear, de 1 a ordem, com coeficiente constante,
Procedendo exatamente como na Seção 5.1 obtemos a solução geral
(Verifique.)
Exemplo 7
Resolva as equações:
Solução
Exemplo 8
Mostre que
Solução