Um Curso de Cálculo, Volume 2
3 Extensões do Conceito de Integral
3.1 Integrais Impróprias
Estamos interessados, nesta seção, em dar um significado para os símbolos
De nição 1. Seja f integrável em [a, t], para todo t > a. De nimos
desde que o limite exista e seja nito. Tal limite denomina-se integral imprópria de f estendida ao
intervalo [a, +∞[.
Observação. Se for +∞ ou –∞ continuaremos a nos referir a
como uma integral imprópria e escreveremos
Se ocorrer um destes casos ou se o limite não existir, diremos que a integral imprópria é divergente.
Se o limite for nito, diremos que a integral imprópria é convergente.
Suponhamos f (x) ≥ 0 em [a, +∞[ e que f seja integrável em [a, t] para toda t
> a. Seja A o conjunto de todos (x, y) tais que 0 ≤ y ≤ f (x) e x ≥ a. Definimos a área de A por
Exemplo 1
Calcule
Solução
Como
resulta
Como , a integral imprópria é convergente.
Exemplo 2
A integral imprópria é convergente ou divergente? Justifique.
Solução
Assim,
Logo, a integral imprópria é divergente.
Exemplo 3
Suponha s > 0 e calcule
Solução
Assim
Por outro lado,
daí
Substituindo em vem
Daí
e, portanto,
Sendo sen u e cos u limitadas e (lembre-se de que estamos
supondo s > 0) resulta
e, portanto,
Assim,
De nição 2. Seja f integrável em [t, a] para todo t < a. De nimos
De nição 3. Seja f integrável em [– t, t], para todo t > 0. De nimos
desde que ambas as integrais do 2 o membro sejam convergentes.
Observação. o Com relação à de nição 3, se as duas integrais que ocorrem no 2 membro forem
iguais a +∞ (ou –∞), ou se uma delas for convergente e a outra +∞ (ou –∞), poremos
Exercícios 3.1
1. Calcule:
2. Calcule em que α é um real dado.
3. Calcule
4. Determine m para que semdo
5.
Determine k para que se tenha
6. Determine m para que em que
7. Sejam dados um real s > 0 e um natural n ≠ 0.
a) Verifique que
b) Mostre que
8. Sejam α e s, s > 0, reais dados. Verifique que