2.4 Teorema Fundamental do Cálculo. Existência de Primitivas

4. Suponha f contínua em [a, b]. Prove

 

5. Sejam f e g contínuas em [a, b], com f (x) ≥ 0 em [a, b]. Prove que

existe θ ∈ [a, b] tal que

 

2.4 Teorema Fundamental do Cálculo. Existência de

Primitivas

Seja f contínua no intervalo I e seja a um ponto em I. Como estamos supondo f contínua em I, para todo x em I, a integral existe; podemos, então,

considerar a função F definida em

 

Provaremos a seguir que a F acima é uma primitiva de f em I, isto é, F′(x) =

f o ( x ) para todo x em I . No que segue, referir-nos-emos a este resultado como 2

teorema fundamental do cálculo ou, simplesmente, teorema fundamental do cálculo.

 

Teorema (fundamental do cálculo). Seja f de nida e contínua no intervalo I e seja a ∈ I.

Nestas condições, a função F dada por

 

é uma primitiva de f em I, isto é, F′(x) = f (x) para todo x em I.

Demonstração

Precisamos provar que, para todo x em I,

 

Temos

 

Pelo teorema do valor médio para integrais existe c entre x e x + h tal que

 

Assim,

 

Tendo em vista a continuidade de f em I e observando que c tende a x quando h tende a zero resulta

 

Observe que o teorema fundamental do cálculo garante-nos que toda

função contínua em um intervalo admite, neste intervalo, uma primitiva e, além disso, exibe-nos, ainda, uma primitiva.

 

Exemplo 1

 

Seja . Calcule F′(x).

Solução

Observe que o domínio de F é ℝ, pois, é contínua em ℝ.

Pelo teorema fundamental do cálculo

 

ou seja,

 

Na notação de Leibniz

 

Exemplo 2

 

Solução

Seja 2 f ( t ) = sen t . Temos:

 

ou seja,

Exemplo 3

 

Calcule G′(x) sendo .

 

Solução

 

De

 

resulta

 

Podemos, também, calcular G′(x) da seguinte forma:

 

Portanto,

 

Exemplo 4

Calcule H′(x) sendo .

 

Solução

Como é contínua em ℝ, tomando-se um número real

qualquer, por exemplo 1, tem-se, para todo x,

 

ou

 

daí

 

ou seja,

 

Outra forma para se obter H′(x) é a seguinte: como é

contínua em ℝ, f admite uma primitiva F; assim

 

ou seja,

 

daí

Como

 

segue

 

Exemplo 5

 

Suponha f (t) contínua em [– r, r](r > 0) e considere a função

 

Prove que se f for uma função par, então F será ímpar.

 

Solução

A nossa hipótese é de que f é contínua em [– r, r] e f (t) = f (–t em [–

r, r]. Queremos provar que

 

Como e f é contínua em [– r, r], pelo teorema

fundamental do cálculo

 

Temos, também,

ou seja,

 

Segue que, para todo x em [– r, r],

 

ou seja,

 

Logo, existe uma constante k tal que, para todo x em [– r, r], F (x) = F (–

x) = k. Mas F (0) = e, assim, k = f (0) + f (–0) = 0. Portanto,

F (x) + F (–x) ou F (–x) = –F (x), para todo x ∈ [– r, r].

 

Exercícios 2.4

 

1. Calcule F′(x) sendo F dada por

2. Suponha f (t) ≥ 0 e contínua em ℝ. Estude a função

com relação a crescimento e decrescimento.

 

3. Determine uma função φ : ℝ → ℝ, contínua, tal que para todo x

 

4. Suponha f contínua em [– r, r](r > 0) e considere a função

 

Prove que se f for uma função ímpar, então F será uma função par.

5. Suponha f contínua em ℝ e periódica com período p, isto é, f (x) =

f (x + p) para todo x. Prove que a função

 

é constante. Interprete graficamente.

 

6. Calcule , em que . (Sugestão: integre por

 

partes.)

7. Calcule , em que .

 

8. As funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, que se

indicam, respectivamente, por ch e sh, são dadas por

 

a) Verifique que para todo t, (ch t)′ sh t.

 

b) Verifique que, para todo t, o ponto (ch t, sh t)

pertence ao ramo da hipérbole 2 2 x – y = 1 contido no semiplano x > 0.

 

c) Sendo F (t) a área da região sombreada mostre que