Um Curso de Cálculo, Volume 2
13.3 Derivada Direcional
9. 2 2 2 das superfícies Determine a equação do plano normal, em (1, 2, 3), à interseção x + y + z = 14 e xyz = 6.
10. Determine um plano que passe pelos pontos (5, 0, 1) e (1, 0, 3) e
que seja tangente à superfície 2 2 2 x + 2 y + z = 7.
13.3 Derivada Direcional
Sejam z = f (x, y) uma função, (x , y ) um ponto de D e e um vetor 0 0 f
unitário. Suponhamos que exista r > 0 tal que para | t | < r os pontos da reta (x, y) = (x + at, y + bt) pertençam ao do mínio de f. Como estamos supondo 0 0
unitário, a distância de (x + at, y + bt) a (x , y ) é | t | (verifique). 0 0 0 0
Pois bem, definimos a taxa média de variação de f, na direção
entre os pontos (x , y ) e (x + at, y + bt) por 0 0 0 0
Vamos destacar, a seguir, o limite de para t → 0.
De nição. O limite
quando existe e é nito, denomina-se derivada direcional de f no ponto (x , y ) e na direção do vetor 0 0
unitário.
A derivada direcional denomina-se, também, taxa de variação
de f no ponto (x , y ) e na direção do vetor . Observe: 0 0
sendo a aproximação tanto melhor quanto menor for | t |.
As derivadas parciais de f, em (x , y ), são particulares derivadas 0 0
direcionais. De fato:
Deste modo, são, respectivamente, as derivadas
direcionais de f, no ponto (x , y ), e nas direções dos vetores 0 0
A seguir, vamos interpretar geometricamente Para isto,
consideremos a curva γ (t) dada por
Observe que a imagem de γ está contida no gráfico de f. Temos:
ou seja,
Exemplo 1
Seja 2 2 f ( x , y ) = x + y . Calcule em que é o versor de
Solução
Inicialmente, vamos calcular em que é um vetor
unitário qualquer.
Ou seja,
a) é tangente em (1, 1) à curva de nível f
( 2 2 x , y ) = 2 ou seja, x + y = 2 (verifique).
Portanto, é razoável esperar que, nesta direção t, a taxa de variação de f, em (1, 1), seja nula. (Por quê?) De fato
Exemplo 2
São dados uma função 2 2 f ( x , y ) = x + y , um vetor unitário (a, b) e um
real β > 2. Suponha que (1 + sa, 1 + sb) e com s > 0 e t
> 0, pertençam à curva de nível f (x, y) = β. Compare a taxa média de
variação de f entre os pontos (1, 1) e (1 + sa, 1 + sb) e entre os pontos
Solução
Exemplo 3