Um Curso de Cálculo, Volume 2
3.2 Função Dada por uma Integral Imprópria
9. Utilizando o Exercício 8, calcule sendo:
a) f(t) = sen t + 3 cos 2t
b) 3t t f ( t ) = 3 t + 2 e + te
10. Suponha que, para todo t > 0, f seja integrável em [–t, t]; suponha,
ainda, que f (x) ≥ 0 para todo x. Prove que
3.2 Função Dada por uma Integral Imprópria
Suponhamos f definida em ℝ e tal que, para todo seja
convergente. Podemos, então, considerar a função F definida em ℝ dada por
Fixado o real a, para todo real u,
fazendo u → –∞ resulta
e, portanto,
em que
Já vimos que H (x) é contínua e que H é derivável em todo x em que f for contínua; além do mais, H′(x) = f (x) em todo x em que f for contínua. Como
é constante, resulta que F é contínua e que F′(x) = f (x) em todo x em
que f for contínua.
Exemplo 1
Esboce o gráfico de
Solução
ou seja,
Observe: F é contínua e
Exemplo 2
Esboce o gráfico da função
Solução
Assim,
Em particular, Então
ou seja,
Como f é contínua, F é derivável em todos os pontos; assim, o gráfico de
F não apresenta “bico”.
Exercícios 3.2
Esboce o gráfico de em que