Um Curso de Cálculo, Volume 2
10.2 Derivadas Parciais de Funções de Três ou Mais Variáveis Reais
32. Dê exemplo de uma função tal que
, para todo (x, y) ε A, mas que f não seja
constante em A.
33. Suponha que, quaisquer que sejam (x, y) e (s, t) em , |f(x, y) –
f 2 ( s, t )| ≤ ||( x, y )–( s, t )|| . Prove que f é constante.
34. Seja , A aberto, e suponha que existe para
todo (x, y) ε A. Sejam (x , y ) e (x + h, y ) dois pontos de A. 0 0 0 0 Prove que se o segmento de extremidades (x 0 , y 0 ) e (x 0 + h, y 0 ) estiver contido em A, então existirá x entre x e x + h tal que 0 0
35. Seja , A aberto, e suponha que f admite derivadas
parciais em A. Seja (x , y ) ε A. Prove que se forem 0 0
contínuas em (x , y ), então f também será. 0 0
(Sugestão. ;
aplique o TVM a (I) e (II).)
10.2 Derivadas Parciais de Funções de Três ou Mais
Variáveis Reais
Sejam w = f(x, y, z) e (x , y , z ) ε D . Mantendo-se y e z constantes, 0 0 0 f 0 0 podemos considerar para função g(x) = f(x, y , z ). A derivada desta função, 0 0 em x = x (caso exista), denomina-se derivada parcial de f em relação a x no 0
ponto(x , y , z ) e indica-se por . 0 0 0
De modo análogo, definem-se as derivadas parciais
. Tem-se:
Da mesma forma, definem-se as derivadas parciais de uma função de mais
de três variáveis reais.
Exemplo
Calcule as derivadas parciais da função s = f(x, y, z, w) dada por
s xyzw = e .
Solução
Exercícios 10.2
1. Calcule as derivadas parciais.
a) x−y−z f ( x , y , z ) = x e
d 2 2 2 ) f ( x , y , z ) = sen( x + y + z )
e) 2 2 2 s = f ( x , y , z , w ) dada por s = xw ln ( x + y + z +
w 2 )
2. Seja . Verifique que
3. Seja s = f(x, y, z, w) dada por . Verifique que
4. Seja contínua com f(3) = 4. Seja
Calcule:
5. Seja diferenciável e seja g dada por g(x, y, z) = f(r) em
que r = ||(x, y, z)||. Verifique que
6. Seja uma função diferenciável tal que ϕ’ (3) = 4. Seja
g 2 2 2 ( x , y , z ) = ϕ ( x + y + z ). Calcule:
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