9.2 Continuidade

8.

Seja

 

Calcule

 

9.2 Continuidade

 

De nição. Seja f uma função de duas variáveis reais a valores reais e seja (x , y ) ε D , com (x , 0 0 f 0

y 0 ) ponto de acumulação de D f . De nimos:

 

Se f for contínua em todos os pontos de um subconjunto A de D , diremos f

que f é contínua em A. Diremos, simplesmente, que f é contínua se o for em todos os pontos de seu domínio.

 

Exemplo 1

 

A função constante f(x, y) = k é contínua, pois,

 

para todo (x , y ) em . (Veja Exemplo 1, Seção 9.1.) 0 0

 

Exemplo 2

A função f(x, y) = x é contínua, pois,

 

para todo (x , y ) em . (Veja Exemplo 2, Seção 9.1.) 0 0

 

Exemplo 3

 

A função é contínua em (0, 0)?

 

Justifique.

 

Solução

Tomando-se γ (t) = (t, 0) e γ (t) = (0, t) vem, 1 2

 

e

 

Logo, não existe e, portanto, f não é contínua em (0, 0).

 

O próximo teorema nos diz que se g(u) e f(x, y) forem contínuas e se lm f ⊂

D , então a função composta h(x, y) = g(f(x, y)) também o será. g

Teorema 1. Sejam duas funções tais que lm f ⊂ D . g

Se f for contínua em (x 0 , y 0 ) e g contínua em f(x 0 , y 0 ), então a composta h(x, y) = g(f(x, y)) será

contínua em (x , y ). 0 0

 

Demonstração

 

Como g(u) é contínua em f(x , y ) dado ∊ > 0, existe δ > 0 tal que 0 0 1

 

Sendo f contínua em (x , y ), para o δ > 0 acima, existe δ > 0 tal que 0 0 1

 

De e resulta,

 

logo, h(x, y) = g(f(x, y)) é contínua em (x , y ). 0 0

Como consequência deste teorema, segue que se g(x) for contínua, então a

função h dada por h(x, y) = g(x) também será contínua. De fato, sendo f(x, y) = x, teremos h(x, y) = g(f(x, y)), com g e f contínuas.

 

Exemplo 4

 

h 2 2 ( x , y ) = x é contínua em , pois g ( x ) = x é contínua em .

 

Exemplo 5

Sendo 2 f ( x , y ) contínua, as compostas sen f ( x, y ), cos f ( x, y ), [ f ( x, y )]

também serão.

 

Teorema 2. Sejam uma função e γ : I → uma curva tais que γ(t) ε A

para todo t ε I. Se γ for contínua em t 0 ε I e f contínua em γ(t 0 ), então a composta g(t) = f(γ(t)) será

contínua em t . 0

 

Demonstração

 

Fica a cargo do leitor.

Sejam f(x, y) e g(x, y) contínuas em (x , y ) e seja k uma constante. Segue 0 0

das propriedades dos limites que f + g, k f e f · g são, também, contínuas em (x , y ). Além disso, se g(x , y ) ≠ 0, então será, também, contínua em 0 0 0 0

(x , y ). 0 0

 

Exemplo 6

Seja

 

Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f.

 

Solução

Nos pontos (x, y) ≠ (0, 0) podemos aplicar a propriedade relativa a

quociente de funções contínuas, pois, 3 2 2 2 x e x + y são contínuas e x +

y 2 não se anula nestes pontos. Para estudar f com relação à continuidade

no ponto (0, 0) precisamos primeiro ver o que acontece com o limite de f

neste ponto.

 

Assim

 

Conclusão: f é contínua em .

 

Sejam agora, três funções tais que (g(x,

y), h(x, y)) ε A, para todo (x, y) ε B. Sem nenhuma dificuldade, demonstra-se que se g e h forem contínuas em (x , y ) e f contínua em (g(x , y ), h(x , 0 0 0 0 0 y )), então a composta f(g(x, y), h(x, y)) será, também, contínua em (x , y ). 0 0 0 Este resultado, bem como os teoremas 1 e 2, são casos particulares de um teorema mais geral sobre continuidade de funções compostas, que não enunciaremos aqui.

 

Exercícios 9.2

 

1. Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a

resposta.

2.

 

é contínua em (0, 0)? Justifique.

3. Prove que se f for contínua em (x , y ) e se f(x , y ) > 0, então 0 0 0 0

existirá r > 0 tal que f(x, y) > 0 para ||(x, y)–(x 0 , y 0 )|| < r.

 

4. Seja A um subconjunto do que goza da propriedade: quaisquer

que sejam (x , y ) e (x , y ) em A, existe uma curva contínua γ : 0 0 1 1 [a, b] → A tal que γ(a) = (x , y ) e γ(b) = (x , y ). Prove que se f 0 0 1 1 for contínua em A e se f(x , y ) < m < f(x , y ), então existirá (x, 0 0 1 1 y) ε A tal que f(x, y) = m.

(Sugestão: aplique o teorema do valor intermediário à função contínua g(t) = f(γ(t)), t ε [a, b].)

 

5. Seja , A aberto, uma função contínua e seja c um

número real dado. Prove que o conjunto é

aberto.

 

6. Dizemos que a sequência de pontos ((x , y )) converge a (x, n n n ≥ 0

y) se, dado ∊ > 0, existe um natural n 0 tal que

Suponha que f(x, y) seja contínua em (x, y), que ((x , y )) n n n ≥ 0 convirja para (x, y) e que (x n , y n ) ε D f para todo n ≥ 0. Prove que a sequência dada por a = f(x , y ) converge para f(x, y). n n n

 

7. Suponha f contínua no retângulo

. Prove que f é limitada neste

retângulo. (f limitada em A significa que existe M > 0 tal que |f(x, y)| ≤ M em A.)

(Sugestão: suponha, por absurdo, que f não seja limitada em A. Então, existirá (x , y ) em A tal que |f(x , y )| > 1. Tomando-se o 1 1 1 1 ponto médio de cada lado, divida o retângulo A em 4 retângulos iguais; em um deles, batizado A , f não será limitada, logo 2 existirá (x , y ) ε A tal que |f(x , y )| > 2 etc.) 2 2 2 2 2

 

8. (Teorema de Weierstrass.) Seja f como no Exercício 7. Prove

que f assume em A valor máximo e valor mínimo. (Sugestão: veja Apêndice B.4 — Volume 1.)

 

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