Exercícios

Volume 2

 

Capítulo 1 Funções Integráveis

 

1. Verifique pela definição se a função f(x) = ax + β, α ≠ 0 é integrável

em [0,1].

 

2. Calcule pela definição . Justifique sua resposta.

3. Seja f:[a, b] → ℝ uma função integrável. Se f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a,

 

b], mostre que .

 

4. Sejam f , g duas funções integráveis, tal que f(x) ≤ g(x), para todo X

∈[a, b] ⊂ ℝ Prove que .

 

5. Seja f uma função integrável em [a, b] tal que existe M ∈ ℝ, de modo

que | f(x)|≤ M, para todo x ∈[a, b]. Mostre que .

6. Seja f:[a, b] → ℝ contínua. Se , portanto que f(x) = 0.

 

Solução

Suponha que existe x ∈[a, b] tal que f(x ) > 0 como f é contínua, 0 0

existe ɛ > 0 tal que se y ∈(x − ɛ, x + ɛ), f(y) > 0. Portanto, existe 0 0

uma partição P de [a, b], tal que a soma inferior de Riemann s(f, P) >

ɛ. Assim, , o que contradiz a

hipótese. Logo, f(x) = 0.

 

7. Existe uma função não nula integrável f:[a, b] → ℝ, de modo que

Isso contradiz a questão anterior?

 

Solução

Considere a função f:[0,2] → ℝ, tal que:

 

Vimos que essa função é integrável, e que .

Logo a função pedida no enunciado existe. Isso não contradiz o

exercício anterior, pois f não é contínua em x = 1.

 

8. Mostre que .

 

Solução

Note que é decrescente no intervalo de integração, assim

 

, integrando obtemos o resultado

desejado.

 

9. Prove que a função é integrável em [−a, a].

 

Solução

f é limitada em [−a, a], e f é descontínua apenas em x = 0, logo segue

que f é integrável.

 

10. Considere a função f:ℝ → ℝ, tal que:

 

Solução

Note que a soma inferior de f é −1 e a soma superior de f é 1, como

elas não coincidem, segue que f não é integrável.

 

11. Dê exemplo de uma função que não f tal que f não é integrável mas |f| é

integrável.

 

Solução

Seja f: ℝ → ℝ, tal que:

 

Provamos que f não é integrável, mas |f(x)| = 1 para todo x ∈ ℝ, logo

|f| é integrável.

 

12. Prove que é integrável em [1, ∞]

Solução

f é limitada e contínua em [1, ∞], logo segue que f é integrável.

 

13.

Considere f:[−2, 2] → ℝ tal que: , f é

 

integrável em [−2, 2]?

 

Solução

Como f é limitada por –1 e 1, e descontínua apenas em 0, segue que f

é integrável.

 

14. Seja f:[a, b] → ℝ. Se existe, então existe uma função F, tal

que

 

Solução

Considere f:[−2,2] → ℝ tal que :

 

f é integrável, mas se existisse F tal que , então f deveria

satisfazer a propriedade do valor intermediário. No entanto note que

, mas não existe x ∈[−2, 2]

tal que .

15.

Considere f:[−1,1] → ℝ tal que: , f é integrável

 

em [–1, 1]?

 

Solução

Como , segue que f não é limitada em [−1,1] e portanto f

não é integrável.

 

16. Mostre que .

 

17. Esboce o gráfico de uma função f (x) que satisfaz:

 

Solução

Sugestão: esboce os gráficos das funções a seguir:

a) f(x) = 2;

b) f(x) = x;

18. A função é integrável em [0, 1]? Justifique sua resposta.

 

Solução

f é contínua em [0, 1], logo segue que f é integrável em [0, 1].

 

19. Mostre que .

 

Solução

 

Como segue que , como ambas as

funções são contínuas em [0, π], segue que são integráveis, e portanto

.

 

20. Prove que toda função monótona em um intervalo fechado e limitado é

integrável.

 

Solução

Seja f monótona crescente (o caso decrescente é análogo) em [a, b].

Tome uma partição P de [a, b] em n intervalos [x ,x ] de n k k +1

comprimento , para k = 0, 1,...,n. Em cada

[x , x ], temos que sup f = f(x ) e in f f = f(x ). Denote a soma k −1 k k k −1

superior dessa partição por S, e a soma inferior por s. Temos que: