Um Curso de Cálculo, Volume 2
2.2 Função Dada por uma Integral
Seja f uma função definida num intervalo I e integrável em todo intervalo [c, d] contido em I. Seja a um número fixo pertencente a I. Para todo x em I, a integral existe; podemos, então, considerar a função F definida em I e dada por
Nosso objetivo é estudar a F com relação à continuidade e derivabilidade.
Na Seção 2.4, estudaremos supondo f contínua em I; provaremos que, neste caso, F é derivável em I e que F′(x) = f (x) para todo x ∈ I. Na Seção 2.5, estudaremos supondo apenas que f seja integrável em todo intervalo [c, d ⊂ I e, portanto, não necessariamente contínua em I. Provaremos, então, que mesmo neste caso F será contínua em I; provaremos, ainda, que F será derivável em todos os pontos em que f for contínua e se p for um ponto de continuidade de f, então F′(p) = f (p).
Observe que, tendo em vista o que dissemos acima, o gráfico de F não
pode apresentar salto. Portanto, se você estiver esboçando o gráfico de uma função dada por uma integral e se o seu gráfico apresentar salto, apague e comece de novo!
Exemplo 1
Esboce o gráfio de em que
Solução
F está definida para todo x ≥ 0. Temos
Observe que F é contínua e que F′(x) = f (x) em todo x ≠ 2.
Exemplo 2
Esboce o gráfico da função
Solução
O domínio de F é o intervalo [–1, +∞[. Temos:
Exemplo 3
Considere a função em que .
a) Determine o domínio de F.
b) Verifique que F′(x) = f (x) para todo x > 0.
Solução
a) Se x > 0, f será contínua no intervalo de extremidades 1 e x; logo,
existe para todo x > 0. Se x ≤ 0, a integral não
existe, pois f não é limitada em ]0, 1]. O domínio de F é, então, o intervalo ]0, +∞[.
Exercícios 2.2
1. Esboce o gráfico da função F dada por
2. Seja
a) Esboce o gráfico de F.
b) Calcule F′(x).
3. Determine o domínio da função F
a) Verifique que F′(x) = f (x) em todo x em que f for
contínua.
b) F é derivável em x = 1?