Um Curso de Cálculo, Volume 2
4.2 Função de Distribuição
Qual a probabilidade de o salário ser menor que
b) R$1.000,00?
c) Qual a probabilidade de o salário estar compreendido
entre R$2.000,00 e R$5.000,00?
d) Se a fábrica tem 3.200 funcionários, qual o número
esperado de funcionários com salários entre R$2.000,00 e R$5.000,00?
4.2 Função de Distribuição
Seja X uma variável aleatória. A função F dada por
F (x) = P(X ≤ x), com x real,
é denominada função de distribuição da variável aleatória X. Se X for uma variável aleatória contínua, com densidade de probabilidade f, teremos
para todo x real.
Observe que, se X for uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade f, então a sua função de distribuição F é uma função contínua e F′(x) = f (x) em todo x em que f for contínua. Observe, ainda, que a probabilidade de a variável aleatória X pertencer ao intervalo [a, b] é
Observe que, se F for uma função de distribuição, deveremos ter necessariamente e Você concorda?
Exemplo 1
Considere a função densidade de probabilidade dada por e
f (x) = 0 se x < 1. Determine e esboce o gráfico da função de distribuição F.
Solução
De segue que F (x) = 0 se x ≤ 1 e
se x > 1, ou seja,
Exemplo 2
Seja X uma variável aleatória discreta que pode assumir qualquer valor do
conjunto {0, 1} e com probabilidades
Esboce o gráfico da função de
distribuição da variável aleatória X.
Solução
Temos P (X < 0) = 0, pois X não pode assumir valor negativo; para 0 ≤ x < 1,
P (X ≤ x) = pois X = 0 é o único valor que X poderá assumir
no intervalo [0, 1[; para x ≥ 1, P (X ≤ x) = P (X = 0 ou X = 1) = P (X = 0) + P
(X = 1) = 1. Assim,