12 Regra da Cadeia

12.1 Regra da Cadeia

Sejam 2 f ( x , y ) uma função definida num aberto do ℝ , γ (t) uma curva definida num intervalo I, tais que γ (t) ∈ D para todo t ∈ I. Nosso objetivo a seguir é f provar que, se f e γ forem diferenciáveis, então a composta F(t) = f (γ (t)) será, também, diferenciável e vale a regra da cadeia

 

em que é o produto escalar dos vetores

Vamos precisar do seguinte lema.

 

Lema. Se aberto, for diferenciável em X ∈ A, então existirá uma função 0

φ(X) de nida em A tal que

 

Demonstração

Sendo f diferenciável em X tem-se 0

 

com

Tomando-se

 

segue a nossa afirmação. Observe que φ(X) é contínua em X . 0

 

■

Note que no lema da página anterior nada muda se supusermos f uma

função de n variáveis.

Antes de enunciar e demonstrar a regra da cadeia para derivação da

composta de uma função de duas variáveis com uma curva, vejamos o seguinte exemplo.

 

Exemplo 1

 

Sejam 3 2 f ( x , y ) = xy e γ ( t ) = ( t , t ). Considere a composta F(t) = f(γ(t)).

a) Calcule F (t).

b) Calcule F′ (t) e verifique que F′(t) = Δf(γ(t))·γ′(t).

 

Solução

Teorema. 2 2 Sejam f : A ⊂ ℝ → ℝ , A aberto, e γ : I → ℝ , tais que γ(t) ∈ A para todo t no

intervalo I. Nestas condições, se γ for diferenciável em t e f em X = γ(t ), então a composta F(t) 0 0 0

= f(γ(t)) será diferenciável em t 0 e vale a regra da cadeia

 

F′(t ) = ∇f(γ(t))·γ′(t ). 0 0

 

Demonstração

Pelo lema, para todo X ∈ A,

 

em que

 

Observe que

 

De

resulta

 

Logo,

 

A demonstração do teorema acima é exatamente a mesma, se substituirmos

f de duas variáveis por f de n variáveis.

Segue desse último teorema que se 2 f for diferenciável em A ⊂ ℝ e γ

diferenciável em I, então a composta F(t) = f(γ(t)) será diferenciável e, para todo t em I,

 

Fazendo γ(t) = (x(t), y(t)) e lembrando que

 

resulta:

 

Escreveremos com frequência

ficando subentendido que devem ser calculados em (x(t), y(t)) quando

for calculado em t.

Com frequência, ocorrerão, ainda, problemas do seguinte tipo: são dadas as

funções diferenciáveis z = f (x, y), x = x(t) e y = y(t) e pede-se calcular .

Evidentemente, o que se deseja é a derivada da composta z = f(x(t), y(t)). Assim:

 

ou ainda,

 

Tudo se passa da mesma forma no caso em que f é uma função de três ou mais variáveis.

 

Exemplo 2

 

Solução

1 o processo

 

ou seja,

2 o processo (regra da cadeia)

 

Assim,

 

ou seja,

 

Exemplo 3

 

Seja t 2 F ( t ) = f ( e , sen t), em que f (x, y) é uma função dada, diferenciável

em 2 ℝ .

a) Expresse F′(t) em termos das derivadas parciais de f.

b) Calcule F(0)′ supondo

 

Solução

Exemplo 4

 

 

z 2 1 2 = f ( x , 3 x +1), em que f ( u , v ) é uma função de classe C em ℝ .

 

Solução

Sendo 1 2 2 f ( u , v ) de classe C em ℝ , f ( u , v ) será diferenciável em ℝ ; u =

x 2 e v = 3x + 1 também são diferenciáveis. Podemos então, aplicar a

regra da cadeia.

a) 2 z = f ( u , v ), u = x e v = 3x+1.

 

ou seja,

b) Fazendo x = 1 na expressão anterior, obtemos:

 

Exemplo 5

 

Seja 3 g ( x ) = f ( x , x + 2), em que f (x, y) é uma função dada, definida e

diferenciável num aberto do 2 ℝ . Expresse g′(x) em termos das derivadas

parciais de f.

 

Solução

g 3 ( x ) = f ( x , y ) em que y = x + 2.

 

ou seja,

 

Exemplo 6

 

Suponha f (x, y) diferenciável e que, para todo x,

 

f(3x+1, 3x–1) = 4.

 

Solução

Para evitar confusão com as variáveis, vamos primeiro substituir x por t.

Assim, para todo t,

 

f(3t+1, 3t–1) = 4.

 

Derivando em relação a t os dois membros obtemos:

 

Como

 

teremos, para todo t,

 

ou seja,

 

Segue que, para todo x,

 

Observação. Sejam f(x, y), g(x) e h (x) funções diferenciáveis e seja γ(x) = (g(x), h(x)). Assim,

Pela regra da cadeia

 

 

ou seja,

 

Vamos, agora, resolver o exemplo anterior trabalhando diretamente com

a equação

 

f(3x+1, 3x–1) = 4.

 

Derivando em relação a x os dois membros, obtemos:

 

Como (veja observação acima)

 

resulta:

Exemplo 7

 

z –u = f ( e , u ), em que f (x, y) é uma função diferenciável dada. Expresse

2

em termos das derivadas parciais de f.

 

Solução

z –u 2 = f ( x , y ) em que x = e e y = u .

 

ou seja,

 

em que –u 2 x = e e y = u .

 

Exemplo 8

 

Sejam 2 A e B abertos do ℝ , f (x, y) diferenciável em A, g(u, v) e h(u, v)

diferenciáveis em B tais que, para todo (u, v) em B, (g(u, v), h(u, v)) ∈ A.

Seja

 

F(u, v) = f(g(u,v), h(u, v), h(u, v) ∈ B.

 

(Observe que a mudança de variáveis x = g(u, v) e y = h(u, v) transforma

a função de duas variáveis z = f (x, y) na função de duas variáveis

 

z = F(u, v) = f(g(u, v), h(u, v).)

Mostre que

 

Solução

a) F(u, v) = f (x, y) em que x = g(u, v) e y = h(u, v). Para calcular

vamos aplicar a regra da cadeia, olhando v como constante; tudo se passa como se x e y dependessem apenas de u:

 

em que x = g(u, v) e y = h(u, v).

CUIDADO. Escrevemos por se tratarem de

derivadas parciais.

b) Para calcular vamos aplicar a regra da cadeia, olhando u como

constante; tudo se passa como se x e y dependessem apenas de v:

 

em que x = g(u, v) e y = h(u, v).

 

Exemplo 9

 

z 2 2 = f ( u + v , uv), em que f (x, y) é uma função diferenciável dada.

Expresse em termos das derivadas parciais de f.

Solução

 

em que 2 2 x = u + v e y = uv.

 

Exemplo 10

 

F(r, θ) = f (x, y) em que x = r cos θ e y = r sen θ, sendo f (x, y) uma

função diferenciável dada. Verifique que

 

Solução

Multiplicando por sen θ, por cos θ e somando membro a membro

obtemos a relação que queríamos.

 

Exemplo 11

 

Suponha z = f (x, y) de classe

 

Admita que a imagem da curva 2 γ ( t ) = ( t , 3t – 1, z(t)), t ∈ ℝ, esteja

contida no gráfico de f.

a) Calcule z (t).

b) Ache a equação da reta tangente a γ no ponto γ (1).

 

Solução

a) (x, y z) ∈ G ⇔ z = f(x, y). Como a imagem de γ está contida no f

gráfico de 2 2 f , para todo t , ( t , 3 t –1, z ( t )) ∈ G , logo, z ( t ) = f ( t , 3t–1).

f diferenciável em (x , y ), então a reta tangente γ no ponto γ(t , y , f(x , y )) 0 0 0 0 0 0 está contida no plano tangente em (x , y , f(x , y )). 0 0 0 0

b) A equação da reta tangente no ponto γ(1) é:

 

(x,y,z) = γ(1) + λγ′(1), λ ∈ ℝ.

 

Temos:

 

A equação da reta tangente é, então,

 

(x,y,z) = (1, 2, – 2) + λ (2, 3, 18), λ ∈ ℝ.

 

O próximo exemplo mostra-nos que se γ for uma curva qualquer,

diferenciável em t , cuja imagem está contida no gráfico da função f (x, y), 0

 

Exemplo 12

 

Seja f (x, y) diferenciável em (x , y ), γ (t) uma curva diferenciável em 0 0

t , cuja imagem está contida no gráfico de f. Seja γ(t ) = (x , y , f(x , 0 0 0 0 0

y )). Então a reta tangente a γ no ponto γ (t ) está contida no plano 0 0

tangente ao gráfico de f no ponto γ (t ). 0

 

Solução

Seja γ(t) = (x(t), y(t), z(t)); como a imagem de γ está contida no gráfico de

f

 

z(t) = f(x(t), y(t)).

 

Sendo f diferenciável em (x , y ), x(t) e y(t) diferenciáveis em t , 0 0 0

podemos aplicar a regra da cadeia para obter z′(t ): 0

 

A equação da reta tangente em γ (t ) é: 0

 

Precisamos mostrar que, para todo λ, o ponto

 

pertence ao plano

ou seja,

 

tendo em vista

 

Exercícios 12.1

 

(Todas as funções são supostas de classe 1 C ou diferenciáveis, quando necessário.)

 

1. Calcule pelo dois processos descritos no Exemplo 2.

 

a) 2 z = sen xy , x = 3 t e y = t .

 

b 2 2 ) z = x + 3 y , x = sen t e y = cos t.

 

c) 2 2 z = ln(1 + x + y ), x = sen 3t e y = cos 3t. 2. 2 Seja g ( t ) = f (3 t , 2 t – 1).

 

a) Expresse g′(t) em termos das derivadas parciais de

f.

 

b) Calcule g′(0) admitindo

 

3. Expresse em termos das derivadas parciais de f, sendo z = f (x,

y) e

 

a) 2 x = t e y = 3t.

 

b) x = sen 3t e y = cos 2t.

 

4. 2 3 Suponha que, para todo t , f ( t , 2 t ) = t – 3t. Mostre que

 

5. 3 Suponha que, para todo x , f (3 x , x ) = arctg x.

 

a)

 

b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico

de f no ponto (3, 1, f (3, 1)).

6. Admita que, para todo (x, y),

 

Calcule g′(t), sendo g(t) = f(2 cos t, sen t).

 

7. Admita que, para todo (x, y),

 

Prove que f é constante sobre a elipse

 

(Sugestão: Observe que a função g do exercício anterior fornece os valores de f sobre a elipse.)

 

8. 2 A imagem da curva γ ( t ) = (2 t , t , z(t)) está contida no gráfico de z

= f (x, y). Sabe-se que

Determine a equação da reta tangente a γ no ponto γ(1).

 

9. Admita que, para todo (x, y),

Mostre que é constante.

 

10. Seja em termos das derivadas parciais de f.

 

11.

Seja z = f(u – v, v – u). Verifique que

12. Considere a função

 

13. Prove que a função u = f(x + at, y + bt), a e b constantes, é

solução da equação as derivadas parciais

 

14. 2 2 3 Seja z = t f ( x , y ), em que x = t e y = t . Expresse em termos

das derivadas parciais de f.

 

15. Seja g(t = f(x, y)sen 3t, em que x = 2t e y = 3t. Verifique que

 

em que x = 2t e y = 3t.

 

16. Seja z = uf(u – v, u + v. Verifique que

 

em que x = u – v e y = u + v.

 

17. 2 2 Seja g ( x , y ) = ( x + y ) f(u, v), em que u = 2x – y e v = x + 2y.

Mostre que

18. Seja g (x) uma função diferenciável tal que f (x, g(x)) = 0, para

 

todo x ∈ D g . Mostre que

 

para todo x ∈ D , com g

 

19. f (t) e g(x, y) são funções diferenciáveis tais que g(t, f (t)) = 0,

para todo t. Suponha f (0) = 1, Determine

a equação da reta tangente a γ(t) = (t, f (t)), no ponto γ(0).

 

20. f (x, y, z) e g(x, y) são funções diferenciáveis tais que, para todo

(x, y) no domínio de g, f(x, y, g(x, y)) = 0. Suponha

Determine a

equação do plano tangente ao gráfico de g no ponto (1, 1, 3).

 

21. Seja

 

a) Expresse g′(t) em termos das derivadas parciais de

f.

b) Calcule g′(0).

 

22. Seja em termos das

derivadas parciais de f.

 

23. 2 2 Suponha que, para todo ( x , y ), f ( x , y , x + y ) = 0. Mostre que

 

24. Seja Mostre que

 

25. 2 Seja F ( u , v ) diferenciável em ℝ , com para todo (u,

v). Suponha que, para todo (x, y), F(xy, z) = 0, em que z = z(x, y). Mostre que

 

26. Seja f(x, y) diferenciável e homogênea de grau λ no aberto A.

Prove:

27. Seja f (x, y) definida e diferenciável na bola aberta A. Suponha

que f verifica em A a relação de Euler

 

Prove que f é homogênea de grau λ.

 

28. Seja ϕ(u) uma função diferenciável qualquer. A função

verifica a relação de Euler

30. Determine uma família de funções que verifique a equação

 

31. Suponha f (x, y) diferenciável no aberto A e homogênea de grau λ.

Prove que é homogênea de grau λ – 1, isto é, que

para todo t > 0, e para todo (x, y) em A com

(tx, ty) ∈ A.

 

( λ Sugestão : Derive em relação a x os dois membros de f ( tx , ty ) = t

f(x, y).)

 

32. 2 Seja f ( x , y ) definida em ℝ , diferenciável em (0, 0) e tal que f(tx,

ty 2 ) = tf ( x , y para todo t ∈ ℝ e todo ( x , y ) ∈ ℝ . Prove que f é linear, isto é, que existem reais a e b tais que f(x, y) = ax + by.

 

a) Verifique que f(tx, ty) = tf(x, y) para todo t e todo

(x, y).

 

b) Olhe para o Exercício 32 e responda: f é

diferenciável em (0, 0)? Por quê?

 

34. 2 2 Seja f ( x , y ) diferenciável em ℝ e tal que para todo ( x , y ) em ℝ