3.4 Convergência e Divergência de Integrais Impróprias: Critério de Comparação

6. Suponha f contínua em ]a, b[ e não limitada em ]a, c] e em [c, b[.

Defina

 

3.4 Convergência e Divergência de Integrais

Impróprias: Critério de Comparação

Em muitas ocasiões estaremos interessados não em saber qual o valor de uma integral imprópria, mas sim em saber se tal integral imprópria é convergente ou divergente. Para tal fim, vamos estabelecer, nesta seção, o critério de comparação que nos permite concluir a convergência ou a divergência de uma integral imprópria comparando-a com outra que se sabe ser convergente ou divergente.

Observamos, inicialmente, que se f for integrável em [a, t], para todo t > a,

e se f (x) > 0 em [a, +∞[, então a função

 

será crescente em [a, +∞[. De fato, se x e x são dois reais quaisquer, com a 1 2 ≤ x < x , então 1 2

Assim, quaisquer que sejam x , x em [a, +∞[, 1 2

 

Logo, F é crescente em [a, +∞[. Segue que ou será finito ou +∞;

será finito se existir M > 0 tal que para todo x ≥ a (veja Exercício 9).

 

Critério de comparação. Sejam f e g duas funções integráveis em [a, t], para todo t > a, e tais

que, para todo x ≥ a, 0 ≤ f (x) ≤ g (x). Então

 

Demonstração

 

a) é finito, pois, por hipótese, é

convergente. De 0 ≤ f (x) ≤ g (x), para todo x ≥ a, resulta

Sendo crescente e limitada, resulta que

será finito e, portanto, será

convergente.

 

b) Fica a seu cargo.

 

Exemplo 1

 

Verifique que é convergente.

 

Solução

 

é convergente. Segue do critério de comparação que

é convergente e, além disso,

Exemplo 2

 

 

Verifique que a integral imprópria é divergente.

 

Solução

 

Para todo e, portanto,

 

De segue, pelo critério de comparação, que

é divergente.

 

O exemplo que daremos a seguir será bastante útil no estudo de convergência de integrais im próprias cujo integrando não seja sempre positivo. Tal exemplo conta-nos que se for convergente, então também será (não vale a recíproca).

Exemplo 3

 

Suponha f integrável em [a, t], para todo t ≥ a. Prove

 

Solução

 

Para todo x ≥ a,

 

Sendo convergente, resulta, do critério de comparação, que

é, também, convergente. Temos

 

Como são convergentes, resulta

que também é convergente.

 

Exemplo 4

 

A integral imprópria é convergente ou divergente?

Justifique.

 

Solução

 

Como é convergente, então também será

convergente; pelo Exemplo 3, é convergente.

Exemplo 5

 

 

É convergente ou divergente? Justifique.

 

Solução

 

b) Para todo x, |sen x| ≤ 1 e, portanto,

 

sen 2 x ≤ |sen x|.

 

Segue que, para todo x ≥ 1,

Temos:

 

 

Tendo em vista que é convergente (por quê?),

resulta

 

ou seja,

 

Pelo critério de comparação (veja ), é divergente.

Tendo em vista o item a), conclui-se que a recíproca da afirmação do Exemplo 3 não é verdadeira.

 

O teorema seguinte, cuja demonstração é deixada para exercício, estabelece

a convergência ou divergência de certas integrais impróprias e que serão úteis no estudo de divergência e convergência de integrais impróprias.

 

Teorema

Exercícios 3.4

 

 

1. É convergente ou divergente? Justifique.

2. Suponha f integrável em [a, t], para todo t ≥ a, com f (x) ≥ 0 em

[a, –∞[. Suponha que existem um α real e uma função g tais que, para todo Suponha, além disso, que

(L real). Prove:

 

3. Utilizando o Exercício 2, estude a convergência ou divergência de

cada uma das integrais a seguir.

4. Seja f contínua em [0, t], para todo t > 0, e suponha que existem

constantes M > 0 e γ > 0 tais que, para todo t ≥ 0,

 

Prove que é convergente para s > γ.

 

Observação. Uma função f se diz de ordem exponencial γ se existem constantes M > 0 e γ > 0 tais

que se veri ca.

 

5. Seja f uma função, com derivada contínua, e de ordem

exponencial γ. Verifique que, para é

convergente e que

 

6. Suponha que f seja de ordem exponencial γ e que, para todo t real,

 

Mostre que, para todo s > γ,

Conclua que existem constantes A, B, C tais que

 

Agora, utilizando o Exercício 8 da Seção 3.1 e supondo f (0) = 1, determine f que verifique e mostre, em seguida, que esta f

satisfaz 2.

 

Observação. A função g dada por

 

denomina-se transformada de Laplace de f.

 

7. Procedendo como no exercício anterior, determine f tal que

 

a) f ′(t) – 2 f (t) = cos t e f (0) = 2.

 

b) 2t f ′( t ) + f ( t ) = e e f (0) = –1.

 

8. Suponha que f e f ′ sejam de ordens exponencial γ 1 e γ 2 ,

respectivamente. Suponha, ainda, que f″ seja contínua. Verifique que 9. Suponha F (x) crescente em [a, +∞[. Prove que será

finito ou +∞. Será finito e igual a sup {F (x)| x ≥ a} se existir M > 0 tal que, para todo x ≥ a, F (x) ≤ M.

 

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