8.2 Gráfico e Curvas de Nível

Seja g :[0, 2π], → uma função dada. Prove que existe uma

8.

única função , homogênea de grau λ ≠ 0, tal que, para todo α ε [0, 2π[, f(cos α, sen α) = g(α). (Observação: o Exercício 8 nos diz que uma função homogênea fica completamente determinada quando se conhecem os valores que ela assume sobre os pontos de uma circunferência de centro na origem.)

 

8.2 Gráfico e Curvas de Nível

Seja z = f(x, y),(x, y) ε A, uma função real de duas variáveis reais. O conjunto

 

denomina-se gráfico de f.

Munindo-se o espaço de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas,

o gráfico de f pode então ser pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto (x, y, f(x, y)), quando (x, y) percorre o domínio de f.

 

A representação geométrica do gráfico de uma função de duas variáveis

não é tarefa fácil. Em vista disso, quando se pretende ter uma visão geométrica da função, lança-se mão de suas curvas de nível, cuja representação geométrica é sempre mais fácil de ser obtida do que o gráfico da função.

Sejam z = f(x, y) uma função e c ε Im f. O conjunto de todos os pontos (x, y)

de D tais que f(x, y) = c denomina-se curva de nível de f correspondente ao f nível z = c. Assim, f é constante sobre cada curva de nível.

O gráfico de f é um subconjunto do . Uma curva de nível é um

subconjunto do domínio de f, portanto, do .

 

Exemplo 1

 

O gráfico da função constante f(x, y) = k é um plano paralelo ao plano xy.

 

Exemplo 2

 

O gráfico da função linear dada por z = 2x + y é um plano passando pela

origem e normal ao vetor = (2, 1, –1):

 

Tal plano é determinado pelas retas

Observe que

 

é uma reta situada no plano yz, enquanto está situada no plano

 

xz.

 

Exemplo 3

 

O gráfico da função afim f dada por z = ax + by + c é um plano normal ao

vetor = (a, b, –1). Tal plano é determinado pelas retas

 

Exemplo 4

 

Desenhe as curvas de nível de 2 2 f ( x, y ) = x + y .

 

Solução

Observamos, inicialmente, que a imagem de f é o conjunto de todos os

reais z ≥ 0. Seja, então, c ≥ 0. A curva de nível correspondente a z = c é

f 2 2 ( x , y ) = c ou x + y = c.

 

Assim, as curvas de nível (c > 0) são circunferências concêntricas de

centro na origem. Sobre cada curva de nível 2 2 x + y > c, a função

assume sempre o mesmo valor c. A curva de nível correspondente a c = 0

é o ponto (0, 0).

 

Exemplo 5

 

Esboce o gráfico de 2 2 f ( x, y ) = x + y .

 

Solução

A interseção do gráfico de f com o plano x = 0 é a parábola

 

localizada no plano yz. Por outro lado, a interseção do gráfico de f com o

plano z = c(c > 0) é a circunferência de centro no eixo z e

 

localizada no plano z = c. Assim, o gráfico de f é obtido girando, em

torno do eixo z, a parábola . (Por quê?)

O gráfico de f é um paraboloide de rotação. Observe que a curva de

nível f(x, y) = c nada mais é que a projeção no plano xy da interseção do

gráfico de f com o plano z = c.

 

Observação. O grá co da função dada por é uma superfície

denominada paraboloide elíptico. Se a = b, temos o paraboloide de rotação.

 

Exemplo 6

 

Seja f a função dada por .

 

a) Determine o domínio e a imagem.

b) Desenhe as curvas de nível.

c) Esboce o gráfico.

 

Solução

a) .

b) A curva de nível correspondente a z = c(c > 0) é

As curvas de nível são então circunferências concêntricas de centro na origem. Quando c tende a +∞, o raio tende a zero. Por outro lado, quando c tende a zero, o raio tende a +∞.

 

 

c)

O plano x = 0 intercepta o gráfico de f segundo a curva . Para

 

cada c > 0, o plano z = c intercepta o gráfico de f segundo a

 

circunferência . O gráfico de f é obtido, então, girando

 

em torno do eixo z, a curva .

Exemplo 7

 

Considere a função f dada por .

a) Determine o domínio e a imagem.

b) Desenhe as curvas de nível.

 

Solução

a) O domínio é o conjunto de todos (x, y), com x ≠ 1. De f (2, y) = y,

para todo y, segue que a imagem de f é . Assim

 

b) Para cada c real, a curva de nível correspondente a z = c é

 

Cada curva de nível de f é então uma reta que passa pelo ponto (1, 0) e

“furada” neste ponto. Como é o gráfico de f? (Sugestão: pegue cada

curva de nível de f e coloque-a na altura z = c respectiva.)

Sejam z = f(x, y) uma função e A um subconjunto de D . Seja (x , y ) ε A. f 0 0

Dizemos que f(x , y ) é o valor máximo (resp. valor mínimo) de f em A se 0 0

para todo (x, y) ε A

 

Diremos, então, que (x , y ) é um ponto de máximo de f em A (resp. ponto de 0 0

mínimo).

 

Exemplo 8

 

Sejam 2 2 f ( x, y ) = 2 x + y e A o conjunto de todos ( x , y ) tais que x + y = 1.

Raciocinando geometricamente, determine, caso existam, os valores

máximo e mínimo de f em A.

 

Solução

Para cada c real, a curva de nível de f correspondente a z = c é a reta

 

c = 2x + y.

Indicando por c o valor máximo de f em A, a reta 1 para z = c máx máx

deve ser tangente à circunferência. (Por quê?) Da mesma forma, para z =

c a reta 1 deve ser tangente à circunferência. Vamos então determinar mín

c para que a reta 1 seja tangente à circunferência. Devemos determinar c

de modo que o sistema

 

tenha solução única. Substituindo 2 2 y = c – 2 x em x + y = 1 obtemos

 

x 2 2 2 2 + ( c – 2 x ) = 1 ou 5 x – 4 cx + c –1 = 0.

 

Para que o sistema tenha solução única, o discriminante deve ser igual a

zero:

 

16 2 2 c – 20( c – 1) = 0

 

ou seja,

 

Assim, é o valor máximo de f em A e – o valor mínimo. Vamos,

agora, determinar os pontos de máximo e de mínimo. O ponto de

máximo é o ponto em que a reta 2x + y = tangencia a circunferência.

Tal ponto é a solução do sistema

em que x – 2y = 0 é a reta que passa pela origem e é perpendicular a 2x +

y = . O ponto de máximo é: . Deixamos a seu cargo

 

verificar que é o ponto de mínimo.

 

O próximo exemplo será utilizado posteriormente.

 

Exemplo 9

 

Seja .

 

a) Desenhe as curvas de nível de f.

b) Determine a imagem de f.

 

Solução

a)

Se ou ou y = 0.

 

Para c ≠ 0,

 

Resolvendo em x, obtemos

De passagem, observamos que a imagem de f é o intervalo [–1, 1]. (Por quê?) O valor máximo de f é 1 e é atingido em todos os pontos, diferentes de (0, 0), da parábola 2 x = y (c = 1). A curva de nível correspondente a c ≠ 0, –1 < c < 1, é constituída de todos os pontos (x, y) ≠ (0, 0) que pertencem ou a

 

 

ou a

 

Observe que, à medida que c vai se aproximando de zero, a parábola

de “fora”, x = , vai “abrindo” cada vez mais, enquanto

 

vai “fechando” cada vez mais. O valor mínimo de f

é –1 e é atingido em todos os pontos, diferentes de (0, 0), da parábola x 2 = – y . Para ajudá-lo a visualizar o gráfico, vamos estudar, com auxílio das curvas de nível, a variação de f sobre a reta x = 1; o que vamos fazer, então, é estudar a variação de f(1, y) quando y varia em

: quando y varia de –1 a 0, f (1, y) decresce, passando do valor 1 em

(1, –1) para o valor 0 em (1, 0); quando y varia de 0 a 1, f (1, y) cresce, passando do valor 0 em (1, 0) para o valor 1 em (1, 1); f (1, y) é crescente em ]–∞, –1] e decrescente em [1, +∞[. Observe que f(1, y) tende a zero para y → +∞ ou y → –∞.

 

A próxima figura mostra a interseção do gráfico de f com o plano x =

1. Sugerimos ao leitor desenhar a interseção do gráfico de f com o plano

x = x , em que x ≠ 0 é um real qualquer. 0 0

Deu para ter uma ideia do gráfico de f? Desafio: tente desenhar ou fazer uma maquete do gráfico.

b) Im f = [–1, 1].

Para finalizar, observamos que a denominação curva de nível varia de acordo com o que a função f representa. Por exemplo: se f é uma distribuição de temperatura plana, (f(x, y) é a temperatura no ponto (x, y)) as curvas de nível denominam-se isotermas (pontos de mes-ma temperatura); se f é a energia potencial de um certo campo de forças bidimensional, as curvas de nível denominam-se curvas equipotenciais etc.

 

Exercícios 8.2

 

1. Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico.

 

a) 2 2 f ( x , y ) = 1 – x – y

 

b) f(x, y) = x + 3y

 

c 2 2 ) z = 4 x + y

 

d) 2 2 f ( x , y ) = 1 + x + y

 

e) z = x + y + 1

g 2 ) f ( x , y ) = x , − 1 ≤ x ≤ 0 e y ≥ 0

 

h) 2 f ( x , y ) = 1 − x , x ≥ 0, y ≥ 0 e x + y ≤ 1

 

j 2 ) z = ( x − y ) , x ≥ 0 e y ≥ 0

 

l) 2 2 2 z = f ( x , y ) dada por x + 4 y + z = 1, z ≥ 0 n 2 2 ) z = arctg ( x ≥ y )

 

o) f (x, y) = x, x ≥ 0

 

q) f (x, y) = sen x,0 ≤ x ≤ π,y ≥ 0

 

r) f (x, y) = xy, 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1

 

2. Desenhe as curvas de nível e determine a imagem:

 

3. Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico da função

 

4. Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em A;

determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos.

5. Raciocinando geometricamente, determine, caso existam, os

 

valores máximo e mínimo de f em A, bem como os pontos em que estes valores são atingidos.

 

a) f(x, y) = 2x + y + 3 e A o conjunto de todo (x, y)

tais que x ≥ 0, y ≥ 0 e x + y ≤ 2.

 

b) f(x, y) = x + y e A o conjunto de todos (x, y) tais

que x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 7, 2x + y ≤ 5 e y ≥ x – 1

 

c) e A o conjunto de todos (x, y) tais que –

1 ≤ x ≤ 0 e 1 ≤ y ≤ 2.

 

d) 2 2 e A o círculo ( x – 3) + ( y – 1) ≤ 1. 6. Um ponto P descreve uma curva sobre a superfície z = xy de

modo que a sua projeção Q sobre o plano xy descreve a curva x = 5 – 2 t , y = t + 3 e z = 0. Determine as alturas máxima e mínima (em relação ao plano xy) quando t percorre o intervalo [0, 4].

 

7. Um ponto P descreve uma curva sobre o gráfico da função f(x, y)

= 2 2 x + y de modo que a sua projeção Q sobre o plano xy descreve a reta x + y = 1. Determine o ponto da curva que se encontra mais próximo do plano xy. (Desenhe a trajetória descrita por P.)

 

8. Seja . Desenhe a imagem da curva γ(t) = (x(t), y(t),

 

z(t)) em que x = R cos t, y = R sen t e z = f(x(t), y(t))(R>0). Como é o gráfico de f?

 

9. Mesmo exercício que o anterior para a função .

 

10. Sejam f(x, y) = xy e γ(t) = (at, bt, f(at, bt)). Desenhe a imagem de

γ sendo

 

a) a = 0 e b = 1.

 

b) a = 1 e b = 1.

 

c) a = 1 e b = 0.

d) a = –1 e b = 1.

 

11. Como é o gráfico de f(x, y) = xy?

 

12. 2 2 Suponha que T ( x,y ) = 4 x + 9 y represente uma distribuição de

temperatura no plano xy: T(x, y) é a temperatura, que podemos supor em ºC, no ponto (x, y).

 

a) Desenhe a isoterma correspondente à temperatura

de 36 ºC.

 

b) Determine o ponto de mais baixa temperatura da

reta x + y = 1.

 

13. Suponha que T(x, y) = 2x + y (ºC) represente uma distribuição de

temperatura no plano xy.

 

a) Desenhe as isotermas correspondentes às

temperaturas: 0 ºC, 3 ºC e –1 ºC.

 

b) Raciocinando geometricamente, determine os

pontos de mais alta e mais baixa temperatura do círculo 2 2 x + y ≤ 4.

 

14. Duas curvas de nível podem interceptar-se? Justifique. 8.3 Funções de Três Variáveis Reais a Valores Reais.