11.5 O Vetor Gradiente

hipotenusa z, quando x aumenta 0,01 cm e y decresce 0,1 cm.

 

10. Defina diferencial de uma função de três variáveis.

 

11. Calcule a diferencial.

 

12. Calcule aproximadamente .

 

11.5 O Vetor Gradiente

 

Seja z = f(x, y) uma função que admite derivadas parciais em (x , y ). O vetor 0 0

 

denomina-se gradiente de f em (x , y ). Outra notação usada para o gradiente 0 0 de f em (x , y ) é: grad f(x , y ). Geometricamente, interpretaremos Δf(x , 0 0 0 0 0 y ) como um vetor aplicado no ponto (x , y ). 0 0 0

 

Exemplo

Seja 2 2 f ( x , y ) = x + y . Calcule Δf(1, 1) e represente-o geometricamente.

 

Solução

. Assim,

Suponhamos agora que f(x, y) seja diferenciável em (x , y ). Temos: 0 0

 

 

com

 

Tendo em vista a igualdade

 

resulta

 

Fazendo X = (x, y) e X = (x , y ) teremos: 0 0 0

com

 

Já vimos que se f(x) for função de variável real e diferenciável em x , 0

então f x f x f x x x E x

 

com

 

Sendo f(x, y) diferenciável em (x , y ), nada mais natural então, do que 0 0

definir a derivada de f em (x , y ) por: f ‘(x , y ) = Δf(x , y ). Assim, a 0 0 0 0 0 0 derivada de f(x, y) em (x , y ) é o gradiente de f em (x , y ). 0 0 0 0

Mais adiante, destacaremos as principais propriedades do vetor gradiente.

 

Exercícios 11.5

 

1. Calcule Δf(x, y) sendo f(x, y) =

Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule Δf(x, y,

2. z) sendo f(x, y, z) =

 

3. 2 2 Seja f ( x, y ) = x – y . Represente geometricamente Δf(x , y ),

0 0

sendo (x 0 , y 0 ) =

a) (1, 1)

b) (–1, 1)

c) (–1, –1)

d) (1, –1)

 

4. Seja . Represente geometricamente f(x , y ), sendo 0 0

( 2 2 x , y ) um ponto da circunferência x + y = 1.

0 0

 

5. 2 2 Seja f ( x , y ) = x + y e seja γ(t) = (x(t),y(t)) uma curva

diferenciável cuja imagem está contida na curva de nível f(x, y) = 1, isto é, para todo t no domínio de γ, f(x(t), y(t)) = 1 (dê exemplo de uma tal curva). Seja γ(t ) = (x , y ). Prove que 0 0 0

. Interprete geometricamente.

(Sugestão: para todo t no domínio de ; derive

em relação a t e faça t = t .) 0

6. 2 2 2 Seja f ( x , y , z ) = x + y + z e seja γ(t) = (x(t),y(t)),z(t)) uma

curva diferencial cuja imagem está contida na superfície de nível x 2 2 2 + y + z = 1. Seja γ(t ) = (x , y , z ). Prove que. Interprete

0 0 0 0

geometricamente.

 

7. Calcule f’(x, y) sendo f(x, y) =

 

a) xy

 

b) x – y 2

 

c) x tg

 

d) arcsen xy

 

8. Seja f(x, y) = xy e seja γ(t) = (x(t),y(t)), t ε I, uma curva

diferenciável cuja imagem está contida na curva de nível f(x, y) = 2. Mostre que para todo t em I, . Dê exemplo de

uma curva cuja imagem esteja contida na curva de nível xy = 2.

 

9. 2 2 Sejam f ( x , y ) = y – x e γ ( t ) = (sen t , sen t).

 

a) Verifique que a imagem de γ está contida na curva

de nível 2 y – x = 0.

 

b) Desenhe a imagem de γ.

c) Verifique que para todo t, .

 

10.

Seja 2 2 2 f ( x, y, z ) = x + 4 y + 9 z .

 

a) Dê exemplo de uma curva γ(t), diferenciável, cuja

imagem esteja contida na superfície de nível x 2 +

4 2 2 y + 9 z = 1.

 

b) Verifique que . Interprete

geometricamente.

11. 2 2 2 Considere a função f ( x, y, z ) = x + 4 y + 9 z e seja γ(t) = (x(t),

y(t), z(t)) uma curva diferenciável qualquer, com imagem contida na superfície de nível 2 2 2 x + 4 y + 9 z = 1, e tal que γ(t ) = (x ,

0 0

y 0 , z 0 ).

 

a) Prove que .

 

b) Determine a equação do plano tangente à

superfície de nível dada, no ponto (x , y , z ). 0 0 0

 

c) Determine a equação do plano tangente à

superfície de nível 2 2 2 x + 4 y + 9 z = 14, no ponto (1, 1, 1).

 

OceanofPDF.com