Um Curso de Cálculo, Volume 2
5 Equações Diferenciais Lineares de 1ª e 2ª Ordens, com Coeficientes Constantes
5.1 a Equação Diferencial Linear, de 1 Ordem, com
Coeficiente Constante
Sejam dados um número a e uma função f definida e contínua num intervalo a I . Uma equação diferencial linear, de 1 ordem, com coeficiente constante, é uma equação da forma
Multiplicando ambos os membros de pelo fator integrante at e (veja
Cap. 14, Seção 14.6, do Vol. 1) obtemos
ou
Como at f é contínua em I , e f (t) admite primitiva em I. De segue que xe at é da forma
ou
com k constante. Por outro lado, é fácil verificar que as funções da forma
são soluções de . Chegamos, assim, ao importante resultado:
As soluções de
são as funções da forma
com k constante.
Este resultado é um caso particular daquele que obtivemos na Seção
14.6 do Vol. 1. Observamos que no cálculo de a constante de
integração pode ser omitida (por quê?).
Exemplo
Considere a equação
a) Ache a solução geral.
b) Ache a solução x = x (t) que satisfaz a condição inicial x (0) = 1.
Esboce o gráfico.
Solução
a) A solução geral é (a = 1 e f (t) = t + 1)
Como (verifique) resulta
b) Precisamos determinar k para se ter x = 1 para t = 0.
A solução que satisfaz a condição inicial dada é
Exercícios 5.1
1. Ache a solução geral.
2. Numa certa cultura de bactérias, a taxa de aumento é
proporcional ao número presente. Verificando-se que o número dobra em 2 horas, quantas pode-se esperar ao final de 6 horas?
3. De acordo com a lei de resfriamento de Newton, a taxa de
resfriamento de uma substância, numa corrente de ar, é proporcional à diferença entre a temperatura T da substância e a do ar. Sendo a temperatura do ar 20° e resfriando a substância de 110° para 80° em 20 minutos, determine a temperatura T = T (t) no instante t, (suponha t dado em minutos).
4. Uma das equações básicas dos circuitos elétricos é
em que L (henry) é a indutância, R (ohms) é a resistência, i (ampère) é a corrente e E (volt) a força eletromotriz.
a) Resolva supondo L e R constantes não nulas,
E (t) = E para todo t e i = 0 para t = 0. 0