11 Funções Diferenciáveis

11.1 Função Diferenciável: Definição

O objetivo desta seção é estender para funções de duas variáveis reais o conceito de diferenciabilidade dado para funções de uma variável real.

Vimos que, por definição, uma função f(x) é diferenciável ou derivável em

x se e somente se o limite, quando h tende a zero, da razão incremental 0

existir e for finito. Esta forma não é adequada para

generalização, pois se f for uma função de duas variáveis reais h será um par ordenado e, então, a razão incremental não terá sentido. Nossa tarefa a seguir é a de tentar obter uma forma equivalente à definição de diferenciabilidade e que seja passível de generalização.

Supondo f(x) diferenciável em x , existe um real a, a = f’(x ), tal que 0 0

 

Temos:

Como

 

resulta

 

Portanto, f é diferenciável em x se e somente se existir um real a tal que 0

 

Estamos, agora, em condições de definir diferenciabilidades para funções

de duas variáveis reais.

 

De nição. Sejam , A aberto de e (x , y ) ε A. Dizemos que f é diferenciável 0 0

em (x 0 , y 0 ) se e somente se existirem reais a e b tais que

 

O próximo teorema nos diz que diferenciabilidade implica continuidade.

 

Teorema 1. Se f for diferenciável em (x 0 , y 0 ), então f será contínua em (x 0 , y 0 ).

Demonstração

 

Sendo f(x, y) diferenciável em (x , y ), existem reais a e b tais que 0 0

 

em que E(h, k) é a função dada por

 

Como

 

e

 

resulta

 

Logo, f é contínua em (x , y ). 0 0

 

■

Vamos mostrar, agora, que se f for diferenciável em (x , y ), então f 0 0

admitirá derivadas parciais em (x , y ) e 0 0 será a única transformação linear que goza da propriedade

 

Teorema 2. Seja , A aberto, e seja (x 0 , y 0 ) ε A. Se f for diferenciável em (x 0 ,

y ), então f admitirá derivadas parciais neste ponto. 0

 

Demonstração

 

Sendo f(x, y) diferenciável em (x , y ), existem reais a e b tais que 0 0

 

em que . Segue de que

 

Daí

 

e, portanto,

De modo análogo, obtém-se .

 

■

 

Observação. Provamos acima que se

 

então teremos necessariamente . Deste

 

modo, se f(x, y) for diferenciável em (x , y ), então 0 0

serão os únicos reais para os quais o limite

acima é zero.

 

Segue do teorema 2 o seguinte importante

 

Corolário. Seja f(x, y) de nida no aberto A ⊂ e seja (x , y ) ε A. Tem-se: 0 0

 

Observações

1. Segue do corolário acima que para provar que uma função f é

diferenciável em (x 0 , y 0 ) é suficiente provar que f admite derivadas parciais em (x , y ) e que 0 0

 

2. Se uma das derivadas parciais não existir em (x , y ), então f 0 0

não será diferenciável neste ponto.

 

3. Se ambas as derivadas parciais existirem em (x , y ), mas se o 0 0

limite acima não for zero, então f não será diferenciável em (x , y ). 0 0

 

4. Se f não for contínua em (x , y ), então f não será diferenciável 0 0

em (x , y ). 0 0

 

Dizemos que f é diferenciável em B ⊂ D se f for diferenciável em todo (x, f

y) ε B. Diremos, simplesmente, que f é uma função diferenciável se f for diferenciável em todo ponto de seu domínio.

 

Exemplo 1

 

Prove que 2 f ( x , y ) = x y é uma função diferenciável.

 

Solução

Precisamos provar que f é diferenciável em todo . f

admite derivadas parciais em todo (x, y) ε e

 

Por outro lado, para todo (x, y) em .

 

Como, para , resulta

 

Portanto, f é diferenciável em todo (x, y) de , ou seja, f é uma função

diferenciável.

 

Exemplo 2

 

é diferenciável em (0, 0)? Justifique.

Solução

f não é contínua em (0, 0); logo, f não é diferenciável em (0, 0). Para a

não continuidade de f em (0, 0), veja Exercício 2, Seção 9.1. Observe que

f admite derivadas parciais em (0, 0).

 

Exemplo 3

 

é diferenciável em (0, 0)? Justifique.

 

Solução

 

Temos

 

ou seja, . Segue que

Como não existe, resulta que

 

logo, f não é diferenciável em (0, 0).

 

Observação. Como

 

resulta que f é contínua em (0, 0). Assim, f é contínua em (0, 0), admite

derivadas parciais em (0, 0), mas não é diferenciável em (0, 0).

 

Exercícios 11.1

 

1. Prove que as funções dadas são diferenciáveis.

 

a) f (x, y) = xy

 

b) f (x, y) = x + y

 

c) 2 2 f ( x , y ) = x y

f) 2 2 f ( x , y ) = x + y

 

 

2. f é diferenciável em (0, 0)? Justifique.