Um Curso de Cálculo, Volume 2
6.4 Norma de um Vetor. Propriedades
é a equação vetorial do plano que passa por (x , y , z ) e que é 0 0 0 perpendicular a .
6.4 Norma de um Vetor. Propriedades
De nição. O número
denomina-se norma do vetor (x, y).
De ( 2 2 x , y )·( x , y ) = x + y , segue
Teorema 1. (Desigualdade de Schwarz) Quaisquer que sejam os vetores , tem-se
Demonstração Para todo t real, e para quaisquer vetores , temos
Pela distributividade do produto escalar,
e como resulta, para todo t,
logo,
e, portanto,
Segue do teorema acima que quaisquer que sejam os vetores não nulos e
de tem-se
Portanto, existe um único número real θ, 0 ≤ θ ≤ π, tal que
Este número real θ denomina-se ângulo entre os vetores .
Teorema 2. Quaisquer que sejam os vetores de e qualquer que seja o escalar λ tem-se:
Demonstração
N1) Imediata.
N2) Pondo , tem-se
Logo,
ou seja,
Pela desigualdade de Schwarz
Então,
logo,
■
Exercícios 6.4
1. Generalize para o (n ≥ 3) os conceitos e resultados desta seção.
2. Calcule a norma do vetor dado.
3. Seja um vetor qualquer de . Mostre que
, i = 1, 2, 3.
4. Seja um vetor do (n ≥ 2). Mostre que
, i = 1, 2, ..., n.
5. Sejam dois vetores quaisquer do . Verifique que
6. Sejam vetores quaisquer do
. Mostre que
7. Sejam vetores quaisquer do . Prove:
8. Seja um vetor qualquer do . Prove que se , para todo
, então .
9. Sejam vetores do tais que , com α e β reais.
Suponha unitários e ortogonais. Prove que
10. Sejam vetores do . Dizemos que são linearmente
independentes se, quaisquer que sejam os reais α e β, se
, então α = β = 0. Prove que e são
linearmente independentes se e somente se .
11. Sejam vetores quaisquer do . Prove que se forem
linearmente independentes, então existirão (e serão únicos) reais α
e β tais que .
12. Sejam dois vetores unitários e ortogonais do . Prove que
são linearmente independentes.
13. Sejam dois vetores unitários e ortogonais do . Prove que
para todo de tem-se: .
14. Sejam vetores do Dizemos que são
linearmente independentes se, quaisquer que sejam os reais α, β e γ, se , então α = β = γ = 0. Prove que
são linearmente
independentes se e somente se .
15. Sejam vetores quaisquer do , com,
linearmente independentes. Prove que é combinação linear de
isto é, que existem reais α, β e γ tais que .
16. Sejam três vetores unitários quaisquer de , sendo dois a
dois ortogonais. Prove que para todo do tem-se: