B.9 Utilizando o Aplicativo Fit Data para Ajuste de Curva pelo Método dos Mínimos Quadrados. As Funções Predx e Predy

MATR ENTER

 

ou, simplesmente, pressione MATR no menu personalizado. Gostou?

 

B.9 Utilizando o Aplicativo Fit Data para Ajuste de

Curva pelo Método dos Mínimos Quadrados. As Funções Predx e Predy

 

Para entrar no aplicativo FIT DATA, pressione STAT (função verde da tecla 5); na caixa que se abre, escolha a 3 a opção, que é Fit data... e pressione ENTER. Nesse aplicativo, você poderá, pelo método dos mínimos quadrados, ajustar aos pontos

 

(x , y ), (x , y ), ..., (x , y ) 1 1 2 2 n n

 

uma reta, mx ŷ = mx + q , uma exponencial, ŷ = qe , uma logarítmica, ŷ = q + m m ln x , ou uma potência, ŷ = q x .

Digamos que o diagrama de dispersão dos pontos tenha o jeito do

gráfico de uma função exponencial, então, em vez de ajustarmos uma reta, ajustaremos uma exponencial da forma mx ŷ = qe . Aplicando ln aos dois membros de mx ŷ = qe , obtemos ln ŷ = ln q + mx. Fazendo, então, Ŷ = ln y e Q = ln q, teremos a reta Ŷ = Q + mx. O que a calculadora faz, sem a gente ver, é exatamente o seguinte: ajusta, pelo método dos mínimos quadrados, uma reta Ŷ = Q + mx aos pontos

 

(x , ln x ), (x , ln x ), ..., (x , ln x ) 1 1 2 2 n n

 

calcula o coeficiente de correlação desses pontos e toma Q q = e . O

raciocínio para os outros tipos de ajuste é análogo.

Você pode, também, solicitar à calculadora que ela retorne, entre as

quatro curvas acima, à que melhor se ajusta (Best fit) aos pontos. Nesse caso, ela retornará a curva cujo 2 R estiver mais próximo de 1. (Lembre-se de que 2 R é o quadrado do coeficiente de correlação.)

Para escolher qual o tipo de ajuste que você quer, leve a barra de

destaque para o campo de MODEL e, pressionando a tecla +/−, escolha a sua opção.

É no campo da variável ΣDAT que devemos entrar com a matriz dos

pontos dados. Para entrar com a matriz, leve a barra de destaque para o campo da variável ΣDAT e pressione EDIT no menu do aplicativo (tecla branca da letra A) para abrir o “escrevedor de matrizes”; digitada a matriz, pressione ENTER para mandá-la para o campo da variável ΣDAT.

Tendo entrado com a matriz e escolhido o tipo de ajuste, pressione OK

(no menu do aplicativo, tecla branca da letra F) ou simplesmente pressione ENTER. Automaticamente, volta-se para o ambiente HOME, e na pilha, no nível 3, estará a curva ajustada, no nível 2 a correlação, e no nível 1, a covariância. Para ler os dados que aparecem nos vários níveis, pressione a tecla que move o cursor para cima ( ) e leve o triângulo preto que aparece na frente do nível 1 da pilha para o nível que você deseja ler; em seguida, pressione EDIT (função roxa da tecla +/–). Após ter lido todos os dados, pressione ON para retirar do visor o tal triângulo preto.

Digamos que você queira ver o diagrama de dispersão e o gráfico da

curva ajustada. Para isso digite:

 

↰ (shift roxo) 5

 

No menu que se abre, pressione PLOT (tecla branca da letra D) e, no novo menu, pressione SCATR (tecla branca da letra C). No visor aparecerá o diagrama de dispersão. Para fazer aparecer o gráfico da curva ajustada, pressione STATL (tecla branca da letra D). (Observação: SCATR = SCATTER = DISPERSÃO; PLOT = PLOTAR = ESBOÇAR.) Pressionando-se ON, volta-se para HOME.

Suponhamos, agora, que você queira, na curva estimada, determinar ŷ

para um dado valor de x. Para isso digite:

 

↰ (shift roxo) 5 FIT (no menu).

 

Agora, entre com o valor de x e pressione PREDY. Se você quiser o valor de x para um dado valor de y, entre com o valor de y e pressione PREDX.

Para finalizar a seção, vamos mostrar um outro modo de entrar com a

matriz no campo de ΣDAT. Então, para entrar com a matriz dos pontos (x , i y ), i = 1, 2, ..., n, no campo da variável ΣDAT, proceda da seguinte i

maneira: estando em HOME, entre com a matriz utilizando a variável MATR. Em seguida, digite

 

′ ΣDAT ′ STO

 

Desse modo, armazenamos a matriz na variável ΣDAT, e, então, ela estará no campo da variável ΣDAT quando entrarmos no aplicativo FIT DATA. ATENÇÃO: Se a variável ΣDAT estiver no menu de VAR, não será necessário digitar ΣDAT: basta entrar com os dois tracinhos e pressionar ΣDAT no menu das variáveis. (ATENÇÃO: Para digitar ΣDAT, pressione Σ (função verde da tecla TAN), apague os parênteses que aparecem na frente de Σ e digite, sem espaço e com letras maiúsculas, DAT.)

 

B.10 Ajuste Linear com Duas ou Mais Variáveis

Independentes. Ajuste Polinomial

 

Exemplo 1

 

Ajuste, pelo método dos mínimos quadrados, uma função linear =

ax + by + c aos dados da tabela

x y z

 

1 3 2

 

4 5 8

 

3 2 4

 

5 3 6

 

7 2 8

 

Solução

O sistema linear associado ao problema é

 

Aqui

 

Procedendo como na Seção A2.7, obtêm-se:

que é a única solução LSQ do sistema. Conclusão:

 

é a função linear que melhor se ajusta aos dados da tabela pelo

método dos mínimos quadrados.

 

Observação. O sistema auxiliar SA associado ao sistema S anterior é:

 

em que

 

A título de exercício, veri que que a solução do sistema SA é de fato ATENÇÃO. Para calcular os produtos escalares utilize a

função DOT, e, para acessá-la, digite: MTH VECTR (no menu). Por exemplo, para calcular entre com com e pressione DOT.

 

Exemplo 2

 

Ajuste, pelo método dos mínimos quadrados, a função polinomial de grau dois, 2 ŷ = ax + bx + c aos dados da tabela

 

x 1 3 4 7 8 10

 

y 8 2 5 10 16 25

 

Solução

O sistema linear associado ao problema é

 

que admite a única solução, aproximada, LSQ

 

a = 0,50933, b = –3,53305 e c = 10,143511.

 

Conclusão: 2 ŷ = 0,50933 x – 3,53305 x + 10,143511 é a função polinomial de grau dois que melhor se ajusta aos dados da tabela.

B.11 A Função RSD. Distância de Ponto a Plano.

Distância de Ponto a Reta

 

A função RSD (RSD = RESÍDUO) é uma outra importante função da HP-48G. Para acessá-la, digite:

 

MTH MATR (no menu) NXT

 

O que faz a função RSD? Consideremos o sistema

 

e seja (x , x , ..., x ) uma solução LSQ de S. Pois bem, a função RSD, 10 20 p 0

quando ativada, irá nos fornecer o vetor

 

que em notação matricial se escreve:

 

Se E = E = ... = E = 0, então (x , x , ..., x ) será uma solução no 1 2 n 10 20 p 0 sentido habitual. O comprimento ||E|| do vetor E é exatamente a distância do ponto P ao ponto B, em que

 

Na HP-48G, a função que calcula o comprimento de um vetor é a função ABS

(ABS = ABSOLUTO):

 

Para acessar a função ABS, digite: MTH REAL (no menu) NXT

O problema agora é como proceder para calcular E.

 

Cálculo do vetor E e de ABS (E)

 

Sejam A a matriz dos coe cientes das variáveis e B a matriz dos termos independentes.

Armazene na variável X a solução encontrada. Agora, entre com as matrizes

 

B A X (nessa ordem)

 

Para calcular E, digite:

 

RSD ENTER

 

ou

 

pressione RSD no menu

ou ainda

 

× – (vezes menos)

 

Para calcular o comprimento de E digite:

 

ABS ENTER

 

ou

 

pressione ABS no menu.

 

Exemplo Considere o sistema

 

a) O sistema admite solução no sentido habitual? Discuta o sistema

com relação ao número de soluções.

b) Resolva o sistema.

c) Dos pontos (x + 2y, 2x – y, x + y, x – y), x e y reais, qual está mais

próximo de (4, 5, 4, 2)?

d) Qual a menor distância do ponto (4, 5, 4, 2) aos pontos (x + 2y, 2x

– y, x + y, x – y), x e y reais?

e) Faça “manualmente” o escalonamento de Gauss do sistema.

 

Solução

Aqui

a) Entre com a matriz A e armazene-a na variável A; entre com a B e

 

armazene-a na variável B. Crie a matriz M e determine a matriz escalonada ME de M:

 

Segue que o sistema não admite solução no sentido habitual. Admite uma única solução no sentido LSQ.

b) Entre com a matriz B, entre com a matriz A, pressione LSQ (no

menu) ou digite LSQ e pressione ENTER para obter a solução

 

[ [2,857142...] [0,714285...] ].

 

Armazene-a na variável X, ou seja, digite:

 

′ X ′ STO

 

Agora, entre novamente com a solução na pilha (digite X e pressione ENTER) e passe-a para a forma de fração ordinária para obter

(Observação. O ponto P poderia, também, ter sido obtido da seguinte

maneira: entre com a matriz A, entre com a matriz X e pressione a

tecla ×, ou seja, obtém-se P multiplicando-se a matriz A pela X.)

d) Primeiro, precisamos determinar o vetor coluna E. (Lembre-se de

que B – AX = B – P = E, em que X, P e B estão sendo olhados como vetores colunas.) Para determinar E, digite:

 

B ENTER A ENTER X ENTER RSD ENTER

 

para obter

 

Para calcular o comprimento de E, digite:

 

ABS ENTER

 

e) Multiplicando-se a primeira equação do sistema S por –2 e

somando-se com a 2 a a ; multiplicando-se a 1 equação por –1 e somando-se com a 3 a a ; multiplicando-se a 1 equação por –1 e somando com a 4 a , e, em seguida, permutando-se as posições das 2 a a e 3 equações, resulta:

Multiplicando-se, agora, a 2 a a equação (do 3 sistema) por –5 e somando-se com a 3 a a ; multiplicando-se a 2 equação por –3 e somando-se com a 4 a a , e, em seguida, dividindo-se a 3 por –3 e a 4 a por –2, resulta:

 

 

Multiplicando-se a última equação por –1 e somando-se com a 3 a a , multiplicando-se a última por –4 e somando-se com a 1 ,

resulta:

 

Multiplicando-se, agora, a 2 a equação por –2 e somando-se com a 1 a , obtém-se:

Observe que a matriz M do último sistema é exatamente a matriz ME de

S.

Para finalizar a Seção, deixamos para você a seguinte tarefa: dados um

plano (uma reta) em forma paramétrica e um ponto B fora do plano (da reta), estabeleça um processo para determinar o ponto P do plano (da reta) que se encontra mais próximo de B e a distância entre B e o plano (reta).

 

B.12 2 Cálculo do Coeficiente de Determinação R

 

Suponhamos que

 

= a x + b y + c

 

seja o plano que melhor se ajusta, pelo método dos mínimos quadrados, aos pontos (x , y , z ), i = 1, 2, ..., n. Então (a, b, c) é a solução LSQ do i i i

sistema

 

Aqui o vetor E é dado por:

 

Sabemos que 2 R é dado por:

Sabemos, ainda, que

 

Segue que 2 R poderá ser colocado na seguinte forma

 

Temos, também,

 

em que B é a matriz coluna dos termos independentes do sistema S.

Temos, então, a seguinte fórmula prática para o cálculo do coeficiente

de determinação 2 R .

ATENÇÃO. Para calcular a média proceda do seguinte modo: armazene a matriz B na variável ΣDAT e digite:

 

Shift roxo 5 IVAR (no menu) MEAN (no menu)

 

Ou, então, pressione a STAT (função verde da tecla 5 ), escolha a 1 opção que é Single-var... e pressione ENTER (ou OK no menu). Entre com a matriz B no campo de ΣDAT. Em seguida, leve a barra de destaque para o campo da variável MEAN e pressione a tecla +/– para confirmar sua escolha (na frente de MEAN deverá aparecer um vezinho). Confirmada a escolha, pressione ENTER.

 

B.13 Programa que Retorna os Coeficientes do Ajuste

e o 2 R

 

O objetivo desta seção é criar um programa, que será armazenado na variável BAN, que retorna os coeficientes do ajuste, bem como o coeficiente de determinação 2 R , a partir das matrizes B, A e do número n de pontos dados, onde B é a matriz dos termos independentes e A a matriz dos coeficientes das variáveis do sistema S associado ao problema.

 

Programa BAN

Nível 1: ≪ ′ N ′ STO ′ A ′ STO ′ B ′ STO B A LSQ

′ X ′ STO B A X RSD ABS 2 ∧ ′ Y ′ STO

B ABS 2 ∧ ′ U ′ STO B ′ ΣDAT ′ STO MEAN 2 ∧

N * ′ V ′ STO 1 Y U V – / – ′ R2 ′ → TAG X ′ X ′ → TAG ≫

 

Agora, digite: ′ BAN ′ STO

 

Inclua a variável BAN em seu menu personalizado.

 

Exemplo 1

 

Considere a tabela

 

x 3 5 6 9 10 11

 

y 7 5 3 4 2 3

 

Determine a reta dos mínimos quadrados dos pontos dados e o coeficiente de determinação.

 

Solução

Seja ŷ = mx + q a reta procurada. O sistema associado ao problema é

Aqui, o número de pontos é n = 6,

 

Agora, entre com a matriz B, entre com a matriz A, com 6 e pressione

BAN, no menu personalizado, para obter

 

R2: 0,6701858

X: [[–0,466216][7,418919]]

 

Ou seja, 2 ŷ = –0,466216 x + 7,418919 e R = 0,6701858. (Sugestão:

Resolva o problema no aplicativo FIT DATA.)

 

Exemplo 2

 

Considere a tabela

 

x 2 3 4 7 2 8 5

y 3 2 6 3 2 5 8

 

 

z 7 5 7 6 5 7 10

 

Determine o plano = ax + by + c dos mínimos quadrados, bem como o coeficiente de determinação 2 R .

 

Solução

O número de pontos é n = 7,

 

Entre com B, entre com A e com 7 e, em seguida, pressione BAN para obter

 

R 2 : 0,8490879

X: [[–6,34715025907E – 2] [0,71567357513] [4,03044041451 ]]

 

Ou seja, = –0,0634715025907x + 0,71567357513y + 4,03044041451 e 2 R = 0,8490879.

 

B.14 Definindo Função na HP-48G

Nesta seção, vamos aprender como definir uma função na HP-48G. Para definir uma função, vamos utilizar a função roxa DEF (DEF = DEFINE = DEFINIR) na tecla STO. Vejamos, então, como definir, por exemplo, a função 2 y = x + 3x + 5.

 

De nindo a função 2 y = x + 3x + 5

 

Na linha de comando, utilizando letras maiúsculas para facilitar, digite 2 y ( x ) = x + 3x + 5, em

seguida, tecle ENTER; no nível 1 deveremos ter:

 

Nível 1: ′ Y(X) = X ^ 2 + 3 * X + 5 ′

 

Agora, pressione DEF (shift roxo seguido da tecla STO).

 

Pronto! A função já está definida. A variável Y já foi para a memória,

isto é, já está ocupando um dos retângulos do menu das variáveis. Para visualizar a variável Y, pressione a tecla VAR e vá virando as páginas do menu até encontrar Y. Encontrou? Ótimo. No próximo exemplo, veremos como calcular o valor de y dado x. Para visualizar o conteúdo da variável Y ou proceder a qualquer alteração, faça como explicado anteriormente.

 

Exemplo 1

 

Sendo 2 y = x + 3x + 5 a função acima definida, calcule o valor de y

para

 

Solução

Inicialmente, localize a variável Y no menu das variáveis. Então, para

calcular o valor de y, digite o valor de x e pressione a tecla branca

correspondente ao retângulo ocupado pela variável Y.

 

Digite 1 e pressione Y no menu das variáveis. No nível 1, deverá aparecer 9. Assim, para x = 1, teremos y = 9.

 

Digite –2 e, em seguida, pressione Y no menu das variáveis. No nível 1, deverá aparecer 3. Assim, para x = –2, teremos y = 3.

 

Digite: 4 ENTER ÷ e, em seguida, pressione Y no menu das variáveis. No nível 1, deverá aparecer 8,04. Assim, para teremos y =

8,04.

 

Exemplo 2

 

Defina a função 2 3 z = x – 3 y + 5xy e calcule z para os valores de x e y dados.

a) x = 1 e y = 2

b) x = –5 e z = –6,2

 

Solução

De nindo a função

 

z 2 3 = x – 3 y + 5xy

 

Digite 2 3 z ( x, y ) = x – 3 y + 5xy e, em seguida, pressione ENTER; no nível 1 deveremos ter:

 

Nível 1: ′ Z(X, Y) = X^2 – 3 * Y^3 + 5 * X * Y ′

 

Agora, pressione DEF (função roxa na tecla STO). Pronto. A

função já está definida.

 

Agora, localize a variável Z no menu das variáveis. Lembre-se:

para abrir o menu das variáveis, é só pressionar a tecla VAR e

procurar Z, usando NXT se precisar virar a página do menu.

Localizou Z ? Ótimo.

 

a) Para calcular z, é preciso entrar com os valores de x e y, nessa

ordem.

Digite: 1 ENTER 2 e pressione a variável Z no menu das variáveis, para obter –13, que é o valor de z = –13.

 

b) Digite: –5 ENTER –6,2 e pressione a variável Z para obter –

844,984, que é o valor de z, ou seja, z = –844,984.

 

B.15 Ajuste de Curva, pelo Método dos Mínimos

Quadrados, no EXCEL 97

 

Consideremos os pontos (x , x ) = k = 1 2 ..., n. No EXCEL, podemos k k obter o ajuste linear, polinomial (até o grau 6), exponencial, logarítmico ou por uma potência. Os próximos exemplos mostram como obter tais ajustes.

 

Exemplo Determine, pelo método dos mínimos quadrados, a reta que

melhor se ajusta aos pontos dados.

 

x 2 4 5 6 6,5 7 7,5 8 10

 

y 0 5 6,5 8 7 9 10 12 13

 

Solução

Nas células A1 a A9, vamos entrar com os valores de x; nas células B1 a B9 com os valores de y. Após entrar com estes valores, marcamos a matriz A1: B9. Em seguida, clicamos no ícone Assistente de gráfico, para abrir o aplicativo Assistente de gráfico.

Neste Assistente de gráfico, escolhemos a opção Dispersão (XY)

e, como Subtipo de gráfico, escolhemos a primeira opção, que é o

diagrama de dispersão. Clicando em Concluir, obtemos o diagrama de

dispersão.

 

A seguir, selecione o gráfico; na barra de ferramentas, clique em

Gráfico e escolha a opção Adicionar linha de tendência.

(ATENÇÃO. O menu Gráfico só aparecerá após selecionar o gráfico.

Se ao lado do menu Ferramentas aparecer a palavra Dados, é porque

você não selecionou o gráfico. Para selecionar a região do gráfico, é

só dar um clique logo abaixo do retângulo que envolve a palavra

Sequência 1. Para desmarcar, é só clicar fora do retângulo que contém

a região do gráfico.) Clicando, então, na opção Adicionar linha de

tendência, aparecerá a caixa de diálogo Adicionar linha de tendência,

que oferece as várias opções de ajuste. Como o nosso caso é o ajuste

linear, clique no quadrado Linear. (Se o ajuste for polinomial, até o grau 6, marque o quadrado polinomial e escolha o grau na caixa ao lado.)

 

Na caixa acima, clique em opções e marque as opções: exibir

equação no gráfico e exibir valor do R-quadrado no gráfico. Clique OK para obter no gráfico a equação da reta que melhor se ajusta aos pontos dados e o valor de R-quadrado.

B.16 Máximos e Mínimos no EXCEL

Pontos de máximo ou mínimo de uma função são determinados, no EXCEL, no aplicativo SOLVER. Para entrar neste aplicativo, clique em Ferramentas e escolha a opção SOLVER. Caso na caixa de diálogo que se abre não apareça a palavra SOLVER, escolha, nessa mesma caixa, a opção Suplementos, marque SOLVER e pressione OK para incluí-la na caixa Ferramentas. Caso em Suplementos não apareça SOLVER é porque não foram instalados todos os aplicativos do EXCEL.

 

Exemplo 1

 

Determine o ponto de mínimo e o valor mínimo da função 2 z = x + 3 2 xy + 4 y – 4x – 13y.

 

Solução

Observamos, inicialmente, que, pelo fato de se tratar de uma função polinomial de grau 2, tal função admitirá no máximo um ponto de mínimo. Por quê? Vamos representar as variáveis x e y, respectivamente, por A1 e B1. Na célula C1, vamos entrar com a expressão que queremos minimizar. Na célula C1, devemos digitar:

 

=A1^2+3*A1*B1+4*B1^2–4*A1–13*B1

 

Como o SOLVER utiliza método iterativo para buscar o ponto desejado, é preciso entrar com estimativas para x e para y (uma estimativa para o ponto de mínimo é qualquer ponto que esteja próximo desse ponto de mínimo). Vamos tentar as estimativas 0 para x e 0 para y. (Como z(0,0) = 0, z(0,1) = –9 e z (0,2) = –10, nesse problema as estimativas 0 para x e 2 para y seriam preferíveis. Por quê? Em todo caso, vamos tentar resolver o problema com as estimativas 0 para x e 0 para y; se não der certo, tentaremos a estimativa (0, 2).) Entre com zero nas células A1 e B1. Agora, marque a célula C1 e, em seguida, clique em Ferramentas e escolha a opção SOLVER para abrir a caixa PARÂMETROS DO SOLVER. Na caixa que se abre, em célula de destino, digite C1; escolha a opção Min; em células variáveis, digite A1:B1.

Agora, clique em resolver para obter –1 em A1, 2 em B1 e –11 em

C1. Assim, (–1,2) é o ponto de mínimo e z = –11 o valor mínimo de z.

(Observe que a função dada admite no máximo um ponto de mínimo,

de acordo?)

 

Gráfico e curvas de nível de 2 2 z = x + 3 xy + 4 y – 4x – 13y

Exemplo 2

 

 

Determine os pontos de máximo e de mínimo de z = 2x – y com as restrições x ≥ 0, x + y ≤ 3 e y ≥ x.

 

Solução

Como o conjunto A de todos os pares (x, y) satisfazendo as restrições dadas é compacto (confira) e a função dada é contínua, resulta, pelo teorema de Weierstrass, que tal função assume em A valor máximo e valor mínimo. Tomemos A1 (A1 = x) e B1 (B1 = y) como células variáveis. Em C1, vamos entrar com a expressão que queremos maximizar ou minimizar. Em C1, digitamos:

 

= 2 * A1 – B1.

 

Em D1, digitamos:

 

= A1 + B1.

Vamos primeiro determinar o ponto de mínimo. Parece que o ponto

de mínimo deve estar próximo (ou é o próprio) de (0, 3). Vamos então

entrar com as estimativas 0 em A1 e 3 em B1. Agora, marque a célula

C1 e abra o aplicativo PARÂMETROS DO SOLVER, como no

exemplo anterior. Em célula de destino, digite C1. Escolha a opção

Mín. Em células variáveis, digite A1:B1. Agora, clique em

Adicionar para abrir o aplicativo Adicionar restrição. Em

referência de célula, digite A1; escolha >=; em restrição, digite 0 (é

a restrição x ≥ 0), em seguida, clique em Adicionar. Agora, vamos

entrar com a restrição y ≥ x. Em referência de célula, digite B1;

escolha >=; em restrição, digite A1, em seguida clique em Adicionar.

Para entrar com a restrição x + y ≤ 3, em referência de célula digite

D1; escolha <=; em restrição, digite 3, em seguida, clique em

Adicionar. Agora, feche o aplicativo para voltar para PARÂMETROS

DO SOLVER, que deverá ter a seguinte “cara”:

Finalmente clique em resolver, para obter 0 em A1, 3 em B1 e –3 em C1. Assim, –3 é o valor mínimo da função e que ocorre para x = 0 e y = 3. (A nossa estimativa já era o ponto de mínimo.) Vamos, agora, determinar o ponto de máximo que deverá estar próximo do ponto (3, 3); entremos, então, com as estimativas 3 em A1 e 3 em B1. Marque C1 e abra novamente o aplicativo PARÂMETROS DO SOLVER. Escolha a opção Máx. (Observe que os dados com os quais entramos anteriormente não foram apagados.) Para determinar o ponto de máximo, é só clicar em Resolver, para obter 1,5 em A1, 1,5 em B1 e 1,5 em C1. Ou seja, 1,5 é o valor máximo e que ocorre para x = 1,5 e y = 1,5. (Veja Exemplo 2, da Seção 16.1.)

 

Exemplo 3

 

Resolva o sistema

 

Solução

Resolver o sistema é equivalente a determinar os pontos de mínimo global da função

 

f 2 2 2 2 2 ( x , y ) = ( x + y – 3) + ( x + 2 xy + 5 y – 4) .

 

De fato, se (x , y ) for solução do sistema, deveremos ter f(x , y ) = 0 0 0 0 0, e, então, (x , y ) será ponto de mínimo global de f, pois, para todo 0 0

par (x, y), temos f(x, y) ≥ 0. Reciprocamente, se (x , y ) for ponto de 0 0 mínimo de f e tal que f(x , y ) = 0, então (x , y ) será solução do 0 0 0 0 sistema. (Você concorda?) O gráfico da primeira equação é uma

parábola com concavidade voltada para baixo, intercepta o eixo y no

ponto (0, 3) e o eixo x nos pontos O gráfico da

segunda equação é uma elipse com centro na origem, intercepta o

eixo x nos pontos (2, 0), (–2, 0) e o eixo y nos pontos

O sistema deverá ter 4 soluções. Estimativas

para as soluções são:

e

 

Solução próxima de (2, 1)

 

Em A1, digite 2; em B1, digite 1; em C1, digite:

 

= (A1^2+B1–3)^2+(A1^2+2*A1*B1+5*B1^2–4)^2

 

Marque C1 e entre em PARÂMETROS DO SOLVER. Escolha a

opção Mín. Em célula de destino, digite C1; em células variáveis,

digite A1:B1. Clique em Resolver para obter: 1,6514 em A1, 0,2727

em B1 e 4,49 –11 · 10 ≈ 0 em C1. Assim, x = 1,6514 e y = 0,2727 é

uma solução, com 4 casas decimais, do sistema.

 

Solução próxima de (2, –1)

 

É só digitar 2 em A1, –1 em B1, entrar em PARÂMETROS DO

SOLVER e clicar em Resolver para obter a solução x = 1,9557 e y = –

0,8247, com quatro casas decimais.

Deixamos a seu cargo verificar que as outras duas soluções são: x

= –1,4232 e y = 0,9745; x = –1,7839 e y = –0,1824. ATENÇÃO. Observe que nesse problema o que estamos fazendo nada mais é do que resolver a equação f(x, y) = 0. Então, em vez de escolher a opção Mín., poderíamos ter escolhido a opção Valor de e entrado com 0 no retângulo ao lado de Valor de e proceder como se estivéssemos determinando o ponto de mínimo. Ou seja, a opção Valor de é a que resolve a equação. Resolva o problema com esta opção e compare com os resultados obtidos com a opção Mín.

 

Determinar estimativas, em geral, não é tarefa fácil. Quando o problema

de máximo ou mínimo está ligado a um problema prático, é, às vezes, possível estimar, com margem de erro razoável, o ponto de máximo ou de mínimo. Mas, em geral, a tarefa não é nada fácil. Se a estimativa não for boa, o aplicativo poderá não retornar valor algum! Se a função for de uma variável e definida em um intervalo limitado, a tarefa será bem mais fácil: é só construir uma tabela com a variável independente percorrendo o domínio e variando, digamos, de 1 em 1 ou de 0,5 em 0,5. Olhando para a tabela, é, então, possível determinar estimativa para o ponto de máximo ou de mínimo. Se a função for de duas variáveis, z = f(x, y), e definida em um conjunto limitado, um processo para determinar estimativa é o seguinte: Considere o menor x tal que a reta x = x intercepte o domínio da função, 0 0 considere a função z = f(x , y) e construa uma tabela com y variando de 1 0

em 1 (ou de 0,5 em 0,5) e de modo que o ponto (x , y) permaneça dentro 0 do domínio da função. Em seguida, construa a função z = f(x , y), com x 1 1 = x + h, h > 0 e tal que a reta x = x intercepte o domínio da função e 0 1 assim por diante. Olhando para as tabelas construídas, é possível obter boas estimativas para o ponto de máximo ou de mínimo. Bem, esse é um caminho. Faço votos que você descubra um bem melhor! No exemplo anterior, x = 0 e z = f (0, y) = –y; assim, o menor valor de z = f (0, y) será 0

23 e ocorrerá em (0, 3) e o maior será 0 e ocorrerá em (0, 0). Tomemos, agora, x = 1; o menor valor de z = f(x , y) = 2x – y = 2 – y será –1 e 1 1 1 ocorrerá em (1, 3), e o maior valor será 1 e ocorrerá em (1, 1) e assim por diante.

Para encerrar a seção, sugerimos ao leitor resolver todos os problemas

de máximos e mínimos propostos no Cap. 16. Por favor, se alguma resposta não estiver correta, avise-me e ficarei muito grato a você.

 

B.17 Brincando no Mathcad

Para trabalhar no Mathcad é muito simples. A partir do programa instalado, se sua versão for o Mathcad 2000, ao abrir o programa verá a seguinte

tela: 2

 

Para iniciar, clique em View, na barra de menus, em seguida, clique em

Toolbars: para gráfico, escolha a opção Graph; para cálculo de derivada e integral, escolha a opção Calculus; para entrar com desigualdades, escolha Boolean etc.

Tudo o que você precisa agora é aprender a digitar expressão. Para

começar, clique em algum ponto da página; no ponto clicado aparecerá uma cruzetinha vermelha. É exatamente neste ponto que a expressão a ser digitada começará. Como no Excel, todas as operações deverão ser indicadas. No Mathcad, o separador decimal é o ponto. Para entrar com expoente, digite ^ (acento circunflexo), como no Excel, só que no Mathcad será expoente mesmo. Para entrar com fração, digite / (dividir). O Mathcad trabalha com dois sinais para representar o igual: um deles é := (para entrar com este símbolo, digite : (dois pontos)); o outro é = (para entrar com este símbolo, pressione simultaneamente as teclas Ctrl e = ou clique no ícone desigualdades e, em seguida, clique em =).

 

Quando se usa o símbolo :=

 

Utiliza-se := para definir o valor de uma variável. Por exemplo: para entrar com x = 5, digitamos x := 5.

Utiliza-se := quando queremos definir f(x, y). Por exemplo, parar entrar com f(x, y) = x + y, devemos digitar: f(x, y) := x + y.

 

Quando se usa o símbolo =

 

Utiliza-se o símbolo = nas equações. Por exemplo, para entrar com a equação x + y = 5, digitamos: x + y = 5.

 

Exemplo 1

 

Entre com a expressão 2 x + 5xy.

Solução

Clique no ponto em que você quer começar a expressão. Agora,

digite:

 

x ^ 2 espaço + 5 * x * y

 

para obter

 

Clicando fora do retângulo, obtém-se: 2 x + 5 · x · y.

 

Observação. Digamos que você queira trocar o expoente 2 por 3: clique ao lado do 2, apague

o 2 e digite 3; em seguida, clique fora do retângulo para obter 3 x + 5 · x · y. Para substituir,

digamos, o 5 por 6, proceda da mesma forma: clique ao lado do 5, apague o 5, digite 6 e clique

fora do retângulo.

 

Exemplo 2

 

Determine o ponto de mínimo da função

 

z 2 2 = x + 3 xy + 4 y – 4x – 13y.

 

Solução

Entre com a função:

 

f 2 ( x, y ) := x + 3 · x · y + 4· y – 4 · x – · y.

Entre com as estimativas:

 

x := 0 y := 0

 

Agora, digite:

 

Minimize (f, x, y)

 

de modo que tenhamos

 

Digitando-se =, obtém-se o ponto de mínimo:

 

Assim, (–1,2) é o ponto de mínimo da função (que concorda com o ponto obtido no Excel).

 

Antes de prosseguir, observamos que, para entrar com os sinais de

desigualdade, deve-se clicar no ícone em que aparecem os símbolos < ≠ ≥ para abrir a caixa Boolean. Para entrar, digamos, com > é só clicar no símbolo >.

 

Exemplo 3

 

Determine o ponto de máximo de z = 2x – y com as restrições x ≥ 0, x + y ≤ 3 e y ≥ x.

 

Solução

x = 3 e y = 3 é uma estimativa para o ponto de máximo. Digite:

 

f(x, y) := 2 · x – y

 

x := 3 y := 3

 

given

 

x ≥ 0 x + y ≤ 3 y ≥ x

 

Assim, o valor máximo da função ocorre para x = 1,5 e y = 1,5.

 

ATENÇÃO. É indispensável a palavra given após as estimativas e antes das restrições.

 

Exemplo 4

 

Resolva o sistema

 

Solução

Inicialmente, observamos que este sistema é o mesmo que o da seção

anterior. Vamos apenas determinar a solução próxima de (2, 1).

Digite:

 

x := 2 y := 1

given

 

x 2 + y = 3

 

x 2 2 + 2 · x · y + 5 · y = 4

 

Assim, x = 1,6514 e y = 0,2727 é a solução, com 4 casas decimais, que está próxima de (2, 1). (Caso queira mais casas decimais, clique ao lado de y, em seguida, na barra de ferramentas, clique em Format, escolha a opção Result, escolha o número de casas decimais e clique em OK.)

 

Exemplo 5

 

Esboce o gráfico de 2 2 f ( x, y ) = x + y

 

Solução

Digite:

 

f 2 2 ( x, y ) := x + y .

 

Clique no ícone assinalado na figura a seguir para abrir a caixa Graph e clique na superfície verde (ou então, na barra de ferramentas, clique em Insert, clique em Graph e escolha surface plot). Em seguida, no pequeno retângulo preto situado à esquerda logo abaixo do sistema de coordenadas, digite f, como na figura abaixo. Para obter o gráfico, clique fora do maior retângulo que contém o sistema de coordenadas. Com o mouse, você pode colocar a figura na posição que desejar.

Para outras opções, dê dois cliques em cima do gráfico e brinque à

vontade.

 

Exemplo 6

 

Calcule

 

Solução

Clique no ícone integral para abrir a caixa que contém o símbolo de

integral. Entre com a integral de modo a obter

Para calcular a integral, proceda da seguinte forma. Se você quiser apenas o valor numérico, digite =. Se você quiser o valor exato, na barra de ferramentas, clique em Symbolics, em seguida clique na opção Simplify. Escolhendo a segunda opção, o resultado será (Para calcular limites, derivadas e somatórias, utilize sempre a segunda opção, e divirta-se.)

 

ATENÇÃO. Para entrar com o símbolo de integral definida, clique no símbolo respectivo na caixa ao lado; para entrar com o símbolo ∞, proceda da mesma forma. O ângulo que envolve a expressão é controlado pela barra de espaço: se ele estiver envolvendo somente o último x, basta ir pressionando a barra de espaço que ele acabará envolvendo toda a expressão. Para encerrar, vamos exibir alguns gráficos construídos no Mathcad.

Referência Bibliográfica para a HP-48G

 

Guia do Usuário da HP-48 Série G

Hewlett-Packard

Edição 1, novembro de 1994

____________

1 Os programas ilustrados neste apêndice não estão cobertos por nenhum

tipo de garantia, por parte do autor ou da editora, no que diz respeito à sua adequação para comercialização ou utilização com qualquer propósito específico. Os programas são apresentados somente a título de ilustração, e todos os riscos decorrentes de deficiências em sua qualidade e desempenho serão inteiramente por conta do usuário.

2 Para mais detalhes sobre versões diferentes do Mathcad 2000, o leitor

poderá obter informações junto aos distribuidores do produto.

 

OceanofPDF.com