Um Curso de Cálculo, Volume 2
15.2 Funções com Gradiente Nulo
2. 2 Seja f ( x , y ) diferenciável em ℝ e suponha que existe
para todo (x, y). Prove que
quaisquer que sejam ( 2 x , y ) e ( s , t ) em ℝ .
3. Seja f (x, y) = ln(x,y). Prove que
quaisquer que sejam (x, y) e (s, t), com x >1, y > 1, s > 1 e t > 1.
15.2 Funções com Gradiente Nulo
Estamos interessados, agora, em estudar as funções que têm gradiente nulo num aberto. Se 2 f ( x , y ) for constante num aberto A de ℝ , então ∇f(x, y) = (0,0) para todo (x, y) ∈ A. Entretanto, pode acontecer de uma função ter gradiente nulo em todos os pontos de um aberto sem ser constante neste aberto: a função
Provaremos a seguir que se uma função admitir gradiente nulo em todos os
pontos de um conjunto A conexo por caminhos, então a função será necessariamente constante em A. Dizemos que um conjunto aberto A é conexo por caminhos se, quaisquer que forem os pontos P e Q pertencentes a A, existir uma poligonal, de extremidades P e Q, contida em A.
Exemplos
a 2 ) A = ℝ é conexo por caminhos.
b) Toda bola aberta é conexa por caminhos.
c)
Qualquer poligonal ligando P a Q tem pontos que não pertencem a A. (Observe que os pontos (1, y), y > 0, não pertencem a A.)
Teorema. 2 Seja A ⊂ ℝ aberto e conexo por caminhos. Nestas condições, se ∇f (x, y) = (0, 0) para
todo (x, y) em A, então f será constante em A.
Demonstração
Seja P = (x ,y ) um ponto de A; vamos provar que para todo P = (x,y) ∈ A, 0 0 0
f(x,y) = f(x ,y ). Como A é conexo por caminhos, existem pontos P ,P ,..., 0 0 1 2 P e P = P pertencentes a A tais que a poligonal P P ⋃P P ⋃...⋃P n –1 n 0 1 1 2 n– 1 P está contida em A. n