Um Curso de Cálculo, Volume 2
5.5 Equações Diferenciais Lineares, Não Homogêneas, de 2ª Ordem, com Coeficientes Constantes
Determine f sabendo, ainda, que f (0) = 0 e f ′(0) = 1.
6. Um móvel desloca-se sobre o eixo x com aceleração
proporcional à diferença entre a velocidade e a posição. Determine a posição x = x (t) do móvel, supondo
e x (0) = 0.
7. Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo x sob a
ação de uma força elástica e de uma força de
amortecimento proporcional à velocidade e dada por
Determine c para que o movimento seja a)
fortemente amortecido. b) criticamente amortecido. c) oscilatório amortecido.
a) fortemente amortecido.
b) criticamente amortecido.
c) oscilatório amortecido.
5.5 Equações Diferenciais Lineares, Não
Homogêneas, de 2 a Ordem, com Coeficientes Constantes
Consideremos a equação linear, de 2 a ordem, com coeficientes constantes
em que f é suposta definida e contínua num intervalo I. Se f não for identicamente nula em I, diremos que é não homogênea. Diremos, ainda, que
é a equação homogênea associada a .
Mostraremos, a seguir, que, se x = x (t), t ∈ I, for uma solução p p
particular de , então a solução geral de será
x = x + x h p
em que x é a solução geral da homogênea associada a . De fato, sendo h
x = x (t), t ∈ I, solução de , para todo t ∈ I, p p
Supondo que x = x (t), t ∈ I, seja outra solução qualquer de , resulta que x (t) – x (t) é solução da homogênea , pois, para todo t ∈ I, p
Por outro lado, se x = x (t), t ∈ I, for tal que x (t) – x (t) é solução da p
homogênea, então x = x (t) será solução de (verifique). Segue que a
solução geral de é
x = x + x h p
em que x é a solução geral da homogênea e x uma solução particular h p de .
Conclusão
A solução geral de
é
x = x + x h p
em que x é uma solução particular da equação dada e x a solução geral da homogênea p h
associada.
Determinar a solução geral da homogênea associada já sabemos. O
problema, agora, é como determinar uma solução particular. Os exemplos que apresentaremos a seguir mostram como determinar, em alguns casos, uma solução particular através de uma “escolha criteriosa”. No final desta seção você encontrará uma tabela que o ajudará nesta “escolha criteriosa”.
Exemplo 1
Determine a solução geral de
Solução
A homogênea associada é
e a solução geral –2t –t x = Ae + Be (verifique). Vamos, agora,
h
procurar uma solução particular da equação dada. Tentaremos uma solução do tipo
x = m + nt p
em que m e n são coeficientes a determinar. Você acha natural tal escolha? Por quê? O que precisamos fazer, agora, é substituir esta função na equação e determinar m e n para que se tenha uma identidade.
( n m + nt ) = 3(m + nt)′ + 2(m + nt) = t
ou
3n + 2m + 2nt = t.
Devemos ter então
ou seja, Deste modo,
é uma solução particular da equação. A solução geral será
Exemplo 2
Considere a equação
a) Olhando para a equação, “chute” uma solução particular.
b) Ache a solução geral.
Solução
a) A função constante é uma solução particular (verifique).
b) A solução geral da homogênea associada é
x –2t –t = Ae + Be .
h
Segue que a solução geral da equação dada é
Exemplo 3
Considere a equação
a) Determine uma solução particular. b) Ache a solução geral.
Solução
a) Nada mais natural do que tentar uma solução particular do tipo
x 3t = me
p
em que m é um coeficiente a determinar. Você acha que é realmente natural esta escolha? Por quê? Devemos determinar m de modo que, para todo t,
( 3t n 3t 3t 3t me ) + 4 ( me )′ + 4 ( me ) = e
ou
(9 3t 3t m + 12 m + 4 m ) e = e
ou
25 3t 3t me = e .
Devemos ter, então, Assim,
é uma solução particular.
b) A solução geral da homogênea associada é
x –2t –2t = Ae + Bte .
h
Segue que a solução geral da equação dada é
Exemplo 4
Ache a solução geral de
Solução
Vamos tentar uma solução particular do tipo
x = m cos 2t + n sen 2t. p
Devemos determinar m e n de modo que, para todo t.
[ n m cos 2 t + n sen 2 t ] + 4[m cos 2t + n sen 2t]′ + 4[m cos 2t + n sen
2t] = sen 2t
ou
–8m sen 2t + 8n cos 2t = sen 2t.
Devemos ter, então, –8m = 1 e 8n = 0, ou seja,
é uma solução particular. Como
x –2t –2t = Ae + Bte .
h
é a solução geral da homogênea associada, segue que
é a solução geral da equação dada.
O quadro que apresentamos a seguir mostra como escolher a solução
particular nos casos: αt f ( t ) = P ( t ), P polinômio, f ( t ) = a e ou f (t) = a
0 0
cos αt
f (t) Solução particular
a αt αt e 1. Se α não é raiz da equação característica, x = me .
0 p
2. αt Se α é raiz simples, x = mte .
p
3. 2 αt Se α é raiz dupla, x = mt e .
p
P (t) 1. Se c ≠ 0, x = P (t) em que P é um polinômio de mesmo grau que p 1 1
P.
2. Se c = 0 e b ≠ 0, x = tP (t). p 1
a cos αt 1. Se b ≠ 0, x = m cos αt + n sen αt. 0 p
2. Se b = 0 e se cos αt não for solução da homogênea, x = m cos αt. p
3. Se b = 0 e se cos αt for solução da homogênea, x = mt cos αt + nt p
sen αt. (Ressonância.)
Observação: Se f (t) = a sen at, procede-se como no caso, f (t) = a cos at. 0 0
Exemplo 5
Resolva a equação
Solução
A solução geral da homogênea associada é
x –t –2t = Ae + Be .
h
Como –t –t e é solução da homogênea, a escolha xp = me não resolve
o problema, pois, qualquer que seja m,
( –t n –t –t me ) + 3 ( me )′ + 2 ( me ) = 0.
Como –1 raiz simples da equação característica da homogênea, a
equação admitirá uma solução particular do tipo
x –t = mte (veja quadro anterior).
p
Devemos determinar m de modo que, para todo t,
( –t n –t –t –t mte ) + 3 ( mte )′ + 2 ( mte ) = e
ou (após derivar e simplificar)
me –t –t = e
logo, m = 1. Segue que
x –t = te
p
é uma solução particular. A solução geral da equação dada é
x –t –2t –t = Ae + Be + te .
Exemplo 6
Determine a solução geral de
Solução
Vamos tentar uma solução particular do tipo
x = m cos t p
Esta escolha é motivada pelo fato de que, derivando-se duas vezes o cosseno, volta-se ao cosseno.
( n m cos t ) + 4 m cos t = cos t
ou
3 m cos t = cos t
logo, é uma solução particular. A solução
geral da equação dada é
Exemplo 7
Resolva a equação
Solução
A solução geral da homogênea
x = A cos 2t + B sen 2t. h
Como sen 2t é uma solução da homogênea associada, não adianta
tentar solução particular do tipo x = m sen 2t, pois, substituindo tal h
função na equação dada, o 1 o o membro se anula e o 2 não. Tenta-se,
então, neste caso, solução particular do tipo
Temos:
Substituindo e na equação dada e simplificando, vem:
4m cos 2t – 4n sen 2t = sen 2t
e, portanto, Assim, é uma solução
particular. A solução geral é, então,
(Suponha que o movimento de uma par tícula que se desloca sobre o eixo x é regido pela equação deste exemplo; descreva o movimento.)
Observação: Na determinação de uma solução particular, em geral, estão envolvidos muitos cálculos; por esse motivo é sempre bom veri car se a solução particular
encontrada é realmente solução particular. Por exemplo, é
realmente uma solução particular de pois,
Exemplo 8
(Princípio de superposição.) Considere a equação
em que f (t) e f (t) são funções dadas, definidas e contínuas num 1 2
mesmo intervalo I. Mostre que se x = x (t), t = I, for uma solução 1 1
particular de
e se x = x (t), t ∈ I, uma solução particular de 2 2
então x = x (t) + x (t) será uma solução particular de . p 1 2
Solução
Sendo x = x (t) e x = x (t) soluções particulares de e , 1 1 2 2
respectivamente, teremos, para todo t ∈ I,
e
e daí, somando membro a membro, resulta
Logo, x = x (t) + x (t) é uma solução particular da Equação . p 1 2
Exemplo 9
Resolva a equação
Solução
é uma solução particular de
Pelo Exemplo 7, é uma solução particular de
Pelo princípio de superposição
é uma solução particular da equação dada. Então, a solução geral da equação dada é
Exercícios 5.5
1. Determine a solução geral.
2. Resolva a equação em que ω ≠ 0 é um real
dado. (Ressonância.)
3. Determine a solução do problema
4. Determine uma solução particular de
em que γ, ω , b e ω são constantes não nulas dadas. 0
5. Resolva a equação
em que ω , b e ω são constantes não nulas dadas. 0
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