15.3 Relação entre Funções com Mesmo Gradiente

 

Teorema 1. 2 Seja A ⊂ ℝ aberto e conexo por caminhos e sejam f, g duas funções que admitem

derivadas parciais em A. Nestas condições, se ∇ f (x, y) = ∇g (x, y) para todo (x, y) ∈ A, então

existirá uma constante k tal que

 

g(x,y) = f(x,y) + k

 

para todo (x, y) em A.

 

Demonstração

 

Seja h(x,y) = g(x,y)–f(x,y), (x,y)∈A; como

 

∇h(x,y) = ∇g(x,y)–f(x,y), (x,y) ∈ A,

 

segue da hipótese que ∇h(x, y) = (0,0) para todo (x,y)∈ A. é conexo por caminhos, resulta que h é constante em A; logo, existe uma constante k tal que h(x,y) = k em A, ou seja,

g(x,y) = f(x,y) + k

 

para todo (x, y) ∈ A.

 

■

 

O teorema acima nos diz que duas funções com gradientes iguais num

conjunto conexo por caminhos diferem, neste conjunto, por uma constante.

 

Exemplo 1

 

Determine todas as funções 2 f ( x , y ), definidas em ℝ , tais que

 

Solução

 

Observe que duas funções que satisfazem terão gradientes iguais;

logo, deverão diferir por constante, pois 2 ℝ é conexo por caminhos.

Basta, então, determinar uma solução de e qualquer outra será esta

mais uma constante. A função

 

satisfaz a 1 a a equação (obtém-se tal função integrando-se a 1 equação

de em relação a x, mantendo-se y constante). Por outro lado,

 

satisfaz a 2 a equação de . Segue que

satisfaz . (Por quê?) Logo,

 

é a família das soluções de .

 

Sejam 2 P ( x , y ) e Q ( x , y ) duas funções dadas, definidas num aberto A do ℝ .

O problema que se coloca é o seguinte: o sistema

 

admite sempre solução? A resposta em geral é não. A seguir apresentaremos uma condição necessária para que o sistema admita solução.

 

Teorema 2. 1 2 Sejam P ( x , y ) e Q ( x , y ) duas funções de nidas e de classe C num aberto A do ℝ .

Uma 2 condição necessária para que exista uma função f : A → ℝ tal que, para todo (x, y) ∈ A.

Demonstração

 

Suponhamos que tal f exista; assim

 

Derivando os dois membros da primeira equação em relação a y e os da segunda em relação a x, obtemos, para todo (x, y) ∈ A,

 

e

 

Como 1 2 P e Q são supostas de classe C , resulta que f será de classe C ; pelo teorema de Schwarz Logo,

 

Exemplo 2

 

Consideremos o sistema

Como 2 em ℝ , segue que não existe função definida em

ℝ 2 que satisfaça o sistema.

 

Exemplo 3

 

Determine, caso existam, todas as funções z = f (x, y) tais que

 

Solução

 

e

 

Assim,

A condição necessária está verificada; o sistema pode admitir soluções.

Deixamos a seu cargo verificar que

 

é a família das soluções do sistema.

 

Uma pergunta que surge naturalmente é a seguinte: a condição necessária

do Teorema 2 é também suficiente? A resposta é não. (Veja Exercícios 9 e 10.) Entretanto, se algumas restrições forem impostas ao conjunto A a condição será, também, suficiente. Este problema será discutido no Vol. 3.

 

Exercícios 15.3

 

1. 2 Determine todas as funções f : ℝ → ℝ tais que

 

2. 2 Determine a função f : ℝ → ℝ cujo gráfico passa pelo ponto (1,

 

2, 1) e tal que

3. 2 Determine a função f : ℝ → ℝ cujo gráfico passa pelo ponto (0,

 

0, 2) e tal que

 

4. 2 Existe função f : ℝ → ℝ tal que

para todo ( 2 x , y ) em ℝ ? Justifique.

 

(Sugestão: Utilize os Exercícios 5 e 6.)

 

8. Um campo de forças em que P e Q são

funções definidas num aberto 2 A ⊂ ℝ , denomina-se conservativo se existe um campo escalar φ : A → ℝ tal que

 

Uma tal função φ, quando existe, denomina-se função potencial associada ao campo O campo de forças dado é conservativo? Justifique.

11. Seja um campo de forças com P e Q

definidas e contínuas no aberto 2 A de ℝ . Se for conservativo então existirá uma função escalar U (x, y) definida em A tal que = – ∇U em A. Uma tal função denomina-se função energia potencial associada ao campo . Determine, caso exista, a função energia potencial associada ao campo dado e satisfazendo a condição dada.

12. Seja a função energia potencial associada ao

campo .

 

a) Determine .

 

b) Uma partícula de massa m = 1 é abandonada na

posição (1, 1) com velocidade nula. Admita que é a única força atuando sobre a partícula. Determine a posição γ(t) = (x(t), y(t)) da partícula no instante t. Desenhe a trajetória descrita pela partícula.

 

(Sugestão: Pela lei de Newton

 

13. Seja a energia potencial associada do campo .

 

a) Determine .

 

b) Uma partícula de massa m = 1 é abandonada na

posição (1, 1) com velocidade inicial Sendo a única força atuando sobre a partícula, determine a posição γ(t) da partícula no instante t. Desenhe a trajetória descrita pela partícula.

 

14. Seja a força do exercício anterior. Uma partícula de massa m =

1 é abandonada na posição (1, 0) com velocidade inicial