Apêndice B Uso da HP-48G, do EXCEL e do MATHCAD

B.1 As Funções UTPN, NMVX e NMVA

A função UTPN é uma função da calculadora e que se utiliza para cálculo de probabilidade na 2 distribuição normal N ( μ , σ ). Esta função é dada por

Para acessar UTPN, digite:

 

MTH NXT (para virar página do menu) PROB (no menu, tecla branca da letra A) NXT (para virar página do menu).

 

Pronto. Viu UTPN no retângulo dentro do visor e correspondente à tecla

branca da letra C? Para ativar UTPN, é só pressionar a tecla branca da letra C.

Vejamos agora como utilizar UTPN. Cálculos com UTPN são realizados

no ambiente HOME.

 

Exemplo 1

 

Seja X uma variável aleatória com distribuição normal N (6, 4), ou

seja, com média 2 μ = 6 e variância σ = 4. Calcule.

a) P (X ≥ 5)

b) P (X ≥ 8)

c) P (5 ≤ X ≤ 8).

 

Solução

Entre no ambiente HOME. Caso não esteja nesse diretório, é só ir

pressionando a tecla ON que você acabará chegando nele.

a) Entre com 6, 4 e 5, nesta ordem, ou seja, digite:

 

6 ENTER 4 ENTER 5 ENTER

 

Desse modo, o 6 estará no nível 3, o 4 no nível 2, e o 5 no nível 1. Agora, é só pressionar a tecla branca da letra C para ativar UTPN. No nível 1, aparecerá o valor da probabilidade: 0,69146. Assim, P(X ≥ 5) = 0,69146.

b) Entre com 6, 4 e 8, nessa ordem, e pressione UTPN para obter

0,15865. Assim, P(X ≥ 8) = 0,15865.

c) P(5 ≤ X ≤ 8) = P (X ≥ 5)– P(X ≥ 8) = 0,53280.

 

Exemplo 2

 

Considere a variável aleatória X com distribuição normal N (6, 4). Calcule P(μ – σ ≤ X ≤ μ + σ).

 

Solução

μ 2 = 6 e de σ = 4 segue σ = 2. O que queremos é P(4 ≤ X ≤ 8). Temos

 

P(4 ≤ X ≤ 8) = P(X ≥ 8) – P(X ≥ 8)

 

Procedendo como no exemplo anterior, obtém-se

 

P(X ≥ 4) = 0,84134 e P(X ≥ 8) = 0,15865.

 

Assim, P(4 ≤ X ≤ 8) = 0,68268. (Esse resultado já é nosso

conhecido, lembra-se? Esqueceu? Volte para o Cap. 4.)

 

O que é muito importante em estatística é determinar o valor de x

quando se conhecem 2 μ , s e P (X ≥ x). Na HP-48G não existe função que realize esse cálculo diretamente. Entretanto, podemos criar uma função que nos permitirá realizar essa tarefa. Tal função será representada pela variável NMVX (que lembra: normal, média, variância e x):

 

NMVX = NMVX (M, V, X).

 

Essa função fará o que a UTPN faz, e com uma vantagem: a calculadora não reconhece UTPN (M, V, X) como uma expressão nas variáveis M, V e X, mas reconhecerá NMVX (M, V, X) como tal. Esse fato nos permitirá criar a equação

 

NMVX (M, V, X) = α

 

e resolvê-la no SOLVE EQUATION quando houver apenas uma variável desconhecida: se forem conhecidas M, V e α, determinamos X.

Vamos então criar tal função. Na verdade, o que faremos é criar um

programa e armazená-lo na variável NMVX. Estando no ambiente HOME, entre no nível 1 com o programa (tecle α para escrever)

 

<< → M V X << M V X UTPN >> >>

 

ATENÇÃO. << >> é a função roxa na tecla menos (–); → é a função verde na tecla 0. Localizou? Observamos que entre →, M, V e X deve haver um espaço.

 

Agora, digite: NMVX. Em seguida, pressione a tecla STO para

armazenar o programa na variável NMVX.

Vamos destacar no quadro a seguir o que fizemos para criar a variável

NMVX.

 

Criando a variável NMVX

 

Nível 1: << → M V X << M V X UTPN >> >>

 

Digite: NMVX e pressione STO

Pronto. A variável NMVX já está na memória da calculadora e pronta

para ser usada. Para localizá-la, pressione a tecla VAR (VAR = VARIÁVEIS) para abrir o menu das variáveis. Agora, tente localizar tal variável no menu dentro do visor; se for necessário, pressione NXT para virar a página do menu. Localizou? Está, então, criada a função

 

NMVX = NMVX (M, V, X).

 

Caso você queira visualizar o programa ou corrigir algum engano que

porventura tenha ocorrido, pressione MEMORY (função verde na tecla VAR), e, na caixa de diálogo que se abre, leve a barra de destaque para cima da variável NMVX e em seguida pressione EDIT no menu do aplicativo (tecla branca da letra A); pressione novamente EDIT no menu do aplicativo que se abre. Visualize o programa ou faça a correção. Para confirmar a correção, pressione ENTER três vezes. Pronto, você está de volta ao ambiente HOME, com as correções confirmadas. Para visualizar o que está armazenado numa variável, ou para fazer correção, proceda sempre da mesma maneira.

 

Corrigindo ou visualizando o conteúdo de uma variável

 

Pressione MEMORY (função verde da tecla VAR), pressione EDIT (no menu, tecla branca da letra

A), pressione novamente EDIT (no menu), faça as correções ou apenas visualize o conteúdo, e em

seguida pressione ENTER três vezes para con rmar as correções e voltar para HOME.

 

Para testar o programa, ou a função que acabamos de criar, vamos

calcular P (X ≥ 5), em que X é a variável aleatória do Exemplo 1, X : N (6, 4). Primeiro, precisamos localizar a variável no menu VAR. Para isso, pressione a tecla VAR e localize a variável. Vamos em frente. Antes lembramos que pressionar NMVX significa pressionar a tecla branca correspondente ao retângulo onde está alojada a variável. OK? Vamos então ao cálculo da probabilidade:

 

entre com 6, 4 e 5 e pressione NMVX

 

O resultado obtido concorda com aquele do Exemplo 1? Se concorda é

porque está tudo certo. Se não concorda, reveja o programa, como descrito anteriormente, verifique onde está o erro, corrija-o e faça novamente o teste.

No próximo exemplo, veremos como determinar o valor de x quando

são conhecidas a média, a variância e a probabilidade P(X ≥ x).

 

ATENÇÃO. MUITA ATENÇÃO. Se a sua calculadora estiver configurada de modo que o ponto seja o separador decimal (por exemplo, 5.3 é cinco inteiros e 3 décimos), então o ponto da calculadora é realmente ponto e a vírgula é realmente vírgula. Se no entanto sua calculadora estiver configurada de modo que o separador decimal seja a vírgula (por exemplo, 5,3 é 5 inteiros e 3 décimos), então quando você pressionar o ponto aparecerá vírgula e quando pressionar a vírgula aparecerá ponto-e-vírgula. MORAL DA HISTÓRIA: Se o ponto for o separador decimal, teremos

 

NMVX = NMVX (M, V, X);

 

se a vírgula for o separador decimal, teremos

 

NMVX = NMVX (M; V; X).

 

Exemplo 3

Sendo X uma variável com distribuição normal N (6, 4), resolva a equação P(X ≥ x) = 0,2.

 

Solução

Sabemos que

 

NMVX (6, 4, x) = P(X ≥ x).

 

Então o que precisamos é resolver a equação

 

NMVX (6, 4, X) = 0,2

 

(Trocamos o x minúsculo pelo maiúsculo simplesmente porque é mais fácil digitar letra maiúscula do que minúscula.) Agora, entre no SOLVE EQUATION (para isso pressione SOLVE na tecla 7 e escolha a opção Solve equation), entre com a equação no campo de EQ, entre com a estimativa 6 no campo da variável X, traga a barra de destaque para o campo da variável X e pressione SOLVE (último retângulo da direita do menu do aplicativo) para obter X : 7,68324.

 

Outro modo, e muito rápido, para determinar X é por meio do programa

que criaremos a seguir e que será armazenado na variável NMVA. Sendo dados 2 M ( M = μ ), V ( V = σ ) e A(A = P(X ≥ x)), tal programa resolve a equação NMVX (M, V, X) = A na variável X e com a estimativa M para X.

 

Criação do programa NMVA

 

Nível 1: << → M V A << ′ NMVX (M, V, X) = A ′

 

′ X ′ M ROOT >> >>

Digite: NMVA e pressione STO

 

Para testar o programa, vamos resolver a equação do Exemplo 3, onde

são conhecidos M = 6, V = 4 e A = 0,2 (em estatística, em vez de A utiliza-se com frequência a letra grega α). Primeiro localize NMVA: pressione VAR e procure por NMVA no menu das variáveis; se necessário, pressione NXT para virar a página do menu. Vamos ao cálculo de X.

 

Utilizando NMVA para calcular X

 

Digite: 6 ENTER 4 ENTER 0,2

Em seguida, pressione NMVA no menu das variáveis

 

O valor obtido para X deverá ser o mesmo do Exemplo 3: X = 7,68324. Se foi este o resultado que você obteve, o seu programa passou no teste e está pronto para ser usado.

Com a função NMVX e com o programa NMVA, você resolverá os

cálculos mais frequentes, relativos à distribuição normal, sem sair do ambiente HOME. Gostou? Espero que sim!

 

Exemplo 4

 

Seja X uma variável aleatória com média 10, desvio padrão 3 e

distribuição normal.

a) Calcule P(7 ≤ X ≤ 12).

b) Determine x para que se tenha P(X ≥ x) = 10%.

Solução

Aqui 2 μ = 10 e σ = 9; logo, M = 10 e V = 9. a) P(7 ≤ X ≤ 12) = P(X ≥ 7) − P(X ≤ 12). Para calcular P(X ≥ 7),

entre com 10, 9 e 7 e pressione NMVX : P(X ≤ 7) = 0,84134. Para o cálculo de P(X ≥ 12), entre com 10, 9 e 7 e pressione NMVX : P(X ≥ 12) = 0,25249. Portanto,

 

P(7 ≤ X ≤ 12) = 0,58885.

 

b) Precisamos resolver a equação NMVX(10,9,X) = 0,1. Para resolvê-

la, entre com 10, 9 e 0,1 e pressione NMVA para obter: X = 13,84465. (Caso você queira verificar esse valor de X é só entrar com 10, 9 e 13,84465, pressionar NMVX e verificar se o valor obtido é 0,1. OK?)

 

Outro tipo de equação que você terá que resolver em estatística é do tipo

da do próximo exemplo.

 

Exemplo 5

 

Considere as variáveis aleatórias, com distribuições normais, X : N (100, 25) e Y : N (115, 36).

a) Determine x de modo que

 

P(X ≥ x) = P(Y ≤ x.)

 

b) Sendo x a solução da equação anterior, calcule P(X ≥ x) e P(Y ≤

x).

 

Solução

a) Sabemos que