Um Curso de Cálculo, Volume 2
7 Função de uma Variável Real a Valores em ℝn. Curvas
7.1 2 Função de uma Variável Real a Valores em ℝ
Uma função de uma variável real a valores em é uma função , em que A é um subconjunto de . Uma tal função associa a cada real t ∊ A, um único vetor F(t) ∊ . O conjunto A é o domínio de F e será indicada por D . F Suporemos sempre que A ou é um intervalo ou uma reunião de intervalos. O conjunto
é a imagem ou trajetória de F. A imagem de F é o lugar geométrico, em ,
descrito por F(t) quando t varia em D . F
Exemplo 1
Seja F a função dada por F(t) = (t, 2t).
a) Calcule F(0) e F(1).
b) Desenhe a imagem de F.
Solução
a) F (0) = (0, 0) e F (1) = (1, 2).
b) A imagem de F é a reta de equações paramétricas
Exemplo 2
Desenhe a imagem da função 2 F dada por F ( t ) = ( t , t ).
Solução
A imagem de F é a curva de equações paramétricas
A imagem de 2 F coincide com o gráfico da parábola y = x .
Exemplo 3
Seja . Desenhe a imagem de F.
Solução
A imagem de F é a circunferência de centro na origem e raio 1.
Exemplo 4
Seja . Desenhe a imagem de F.
Solução
ou seja,
Quando t varia em [0, + ∞[, o ponto F(t) gira em torno da origem e a
distância à origem tende a zero para t tendendo a + ∞. Observe que a
imagem de –θ F coincide com o gráfico da espiral ρ = e , θ ≥ 0
(coordenadas polares).
Exemplo 5
Desenhe a imagem da função F dada por .
Solução
Assim, para cada t ∊ [0, 2π] o ponto (2 cos t, sen t) pertence à elipse
. Por outro lado, para cada (x, y) na elipse, existe t ∊ [0, 2π]
tal que
Exercícios 7.1
Desenhe a imagem: