10 Derivadas Parciais

10.1 Derivadas Parciais

 

Seja z = f(x, y) uma função real de duas variáveis reais e seja (x , y ) ε D . 0 0 f Fixado y , podemos considerar a função g de uma variável dada por 0

 

g(x) = f(x, y ). 0

 

A derivada desta função no ponto x = x (caso exista) denomina-se derivada 0 parcial de f, em relação a x, no ponto(x , y ) e indica-se com uma das 0 0 notações:

 

Assim, . De acordo com a definição de derivada temos:

 

ou seja,

 

ou, ainda,

Seja A o subconjunto de D formado por todos os pontos (x, y) tais que f

existe; fica assim definida uma nova função, indicada por e

definida em A, que a cada (x, y) ε A associa o número , em que

 

Tal função denomina-se a função derivada parcial de 1 ordem de f, em relação a x, ou, simplesmente, derivada parcial de f em relação a x.

De modo análogo, define-se derivada parcial de f, em relação a y, no

ponto(x , y ) que se indica por 0 0

 

ou

 

Para se calcular fixa-se y = y em z = f(x, y) e calcula-se a 0

 

derivada de g(x) = f(x, y ) em . Da mesma forma, 0

é a derivada, em relação a x, de f(x, y), mantendo-se y constante. Por outro lado, é a derivada, em relação a y, de f(x, y), mantendo-se x constante.

 

Exemplo 1

 

Seja f(x, y) = 2xy–4y. Calcule:

Solução

a) Devemos olhar y como constante e derivar em relação a x:

 

pois

 

Por limite:

 

b) Devemos olhar x como constante e derivar em relação a y:

 

c) Conforme a, para todo (x, y) em . Daí

 

Assim, .

d) Conforme b, para todo (x, y) em . Logo

 

Exemplo 2

 

Considere a função 2 2 z = f ( x , y ) dada por z = arctg( x + y ). Calcule:

 

Solução

Antes de passarmos ao próximo exemplo, observamos que uma função z =

f(x, y) se diz definida ou dada implicitamente pela equação g (x, y, z) = 0 se, para todo (x, y) ε D , g (x, y, f(x, y)) = 0. Por exemplo, a função f

, é dada implicitamente pela equação 2 2 2 x + y + z

= 1, pois, para todo (x, y) no seu domínio, . As

funções , são

também, dadas implicitamente pela equação 2 2 2 x + y + z = 1 (verifique).

 

Exemplo 3

Sendo 2 2 2 z = f ( x , y ) dada implicitamente por x + y + z = 1, z > 0,

calcule:

 

Solução

a) . Assim,

 

ou seja,

 

Poderíamos, também, ter chegado ao resultado acima trabalhando diretamente com a equação 2 2 2 x + y + z = 1:

 

como ,

resulta:

 

ou seja,

b) , ou seja,

 

e, portanto, .

 

CUIDADOS COM NOTAÇÕES. A notação , como vimos,

indica a derivada de f(x, y) em relação a x, em que y é olhado como constante, ou seja, como independente de x. Por outro lado, a notação indica a

derivada de f(x, y), em que y deve ser olhado (quando nada for dito em contrário) como função de x. As notações foram criadas para serem usadas corretamente. Portanto, não confunda com .

 

Exemplo 4

 

, enquanto

 

pois,

 

Exemplo 5

Suponha que z = f(x, y) seja dada implicitamente pela equação

 

e xyz 2 2 2 = x + y + z .

 

Suponha que f admita derivada parcial em relação a x, expresse em

termos de x, y e z.

 

Solução

Para todo (x, y) ε D , f

 

Temos:

 

e

 

Assim,

 

ou seja,

 

em todo ( xyz x , y ) ε D com xy e – 2z ≠ 0.

f

Exemplo 6

 

Seja uma função de uma variável e derivável. Considere a

função 2 2 g dada por g ( x, y ) = ϕ ( x + y ). Verifique que

 

Solução

 

g 2 2 ( x, y ) = ϕ ( u ) em que u = x + y .

 

Então, , ou seja,

 

Da mesma forma, , ou seja,

 

Assim,

 

Observação. Se no exemplo anterior a função ϕ fosse, por exemplo, a função seno, teríamos g(x,

y 2 2 ) = sen( x + y ) e, assim,

e

 

.

 

Exemplo 7

 

Seja . Determine

 

Solução

a) Nos pontos (x, y) ≠ (0, 0) podemos aplicar a regra do quociente

 

ou seja,

 

Em (0, 0)

 

assim, g(x) = f(x, 0) = x, para todo x; segue que

Poderíamos, também, ter calculado por limite:

 

 

Assim, é a função de em dada por

 

b) Para (x, y) ≠ (0, 0)

 

Em (0, 0)

 

é (caso exista) a derivada, em y = 0, de h(y) = f (0, y);

 

assim, h(y) não é contínua em y = 0, logo, h’ (0) não existe, ou seja,

não existe. Segue que está definida em todo (x, y) ≠ (0, 0)

(mas não em (0, 0)) e é dada por

Exemplo 8

 

 

Seja tal que para todo (x, y) em . Prove que f

não depende de x, isto é, que existe tal que f(x, y) = ϕ(y), para

todo (x, y) ε .

 

Solução

Fixado um y qualquer, a função h(x) = f(x, y) é constante em , pois,

para todo x, . Segue que, para todo x,

 

h(x) = h(0)

 

ou seja,

 

f(x, y) = f(0, y).

 

Como y foi fixado de modo arbitrário, resulta que f(x, y) = f (0, y) se

verifica para todo (x, y) em . Tomando-se ϕ(y) = f(0, y), teremos

 

f(x, y) = ϕ(y)

 

para todo (x, y) ε .

 

Exemplo 9

 

(Interpretação geométrica.) Suponhamos que z = f(x, y) admite derivadas

parciais em (x , y ) ε D . O gráfico da função g(x) = f(x, y ), no plano 0 0 f 0

x’ y z’ (veja figura adiante), é a interseção do plano y = y com o 0 0

gráfico de é, então, o coeficiente angular da reta tangente T a

esta interseção no ponto (x , y , f(x , y )): 0 0 0 0

. Interprete você .

 

O exemplo seguinte mostra-nos que a existência de derivada parcial em um

ponto não implica a continuidade da função neste ponto.

 

Exemplo 10

 

Mostre que a função

 

admite derivadas parciais em (0, 0), mas não é contínua neste ponto.

 

Solução

Assim, f admite derivadas parciais em (0, 0). Vamos mostrar, a seguir, que f

 

não é contínua em (0, 0). A composta de f com a reta γ dada por γ(t) = (t, t) é

 

Como γ é contínua em t = 0 e a composta g(t) = f(t, t) não é contínua em t = 0, resulta que f não é contínua em (0, 0). (Por quê?)

O exemplo anterior mostra-nos ainda que a mera existência das derivadas

parciais de f em um ponto (x , y ) não implica a derivabilidade em t da 0 0 0 composta g(t) = f(γ(t)), em que γ é uma curva suposta diferenciável em t e 0 γ(t ) = (x , y ). No exemplo anterior, f admite derivadas parciais em (0, 0), 0 0 0

γ(t) = (t, t) é diferenciável em t = 0, mas a composta g(t) = f(γ(t)) não é diferenciável em t = 0.

Do que vimos acima, resulta que a existência de derivadas parciais em um

ponto (x , y ) não é uma boa generalização do conceito de diferenciabilidade 0 0

dado para funções de uma variável real. Uma boa generalização deverá implicar a continuidade da função e a diferenciabilidade da composta g(t) = f(γ(t)) quando f e γ o forem, porque é isso que acontece no caso de funções de uma variável. Veremos no próximo capítulo qual é a boa generalização do conceito de diferenciabilidade para funções de várias variáveis reais.

 

Exercícios 10.1

1. Determine as derivadas parciais

 

2. Considere a função . Verifique que .

 

3. Seja uma função de uma variável real, diferenciável e

tal que ϕ’ (1) = 4. Seja . Calcule

 

4. Seja a função do exercício anterior. Verifique que

para todo (x, y) ε , com y ≠ 0.

 

5. Considere a função dada por z = x sen . Verifique que

 

6. A função p = p(V, T) é dada implicitamente pela equação pV =

nRT, em que n e R são constantes não nulas. Calcule .

 

7. y Seja z = e ϕ(x – y), em que ϕ é uma função diferenciável de uma

variável real. Mostre que

 

8. Seja uma função diferenciável de uma variável real e

 

seja . Mostre que

9. 2 2 Sejam z = e , x = ρ cos θ e x = ρ sen θ. Verifique que x +y

 

Conclua que

 

10. Suponha que a função z = z(x, y) admita derivadas parciais em

todos os pontos de seu domínio e que seja dada implicitamente

pela equação 3 xyz + z = x. Expresse em termos de x, y, z.

 

11. Seja z = f(x + at) em que f é uma função diferenciável de uma

variável real e a uma constante. Verifique que

12. 2 2 Seja z = f ( x – y ), em que f(u) é uma função diferenciável de

 

uma variável real. Verifique que

 

13. 4 Considere a função dada por w = xy + z , em que z = z(x, y).

Admita que e que z = 1 para x = 1 e y = 1. Calcule

 

.

 

14. Seja , em que ϕ é uma função diferenciável

de uma variável real. Mostre que

 

15. Seja . Calcule .

 

16. Seja . Calcule .

17. Seja uma função diferenciável e seja

. Verifique que

 

18. 3 2 Seja f ( x, y ) = x y –6xy + ϕ(y). Determine uma funcao ϕ de modo

que

 

19. Determine uma função f(x, y) tal que

 

20.

Determine sendo .

 

21.

Seja

 

a) Esboce o gráfico de f. b) Determine .

 

22. 2 2 Seja dada por: f ( x , 0) = 1 + x , f (0, y ) = 1 + y e f(x, y)

= 0 se x ≠ 0 e y ≠ 0.

 

a) Esboce o gráfico de f.

 

b) Calcule .

 

c) f é contínua em (0, 0)? Justifique.

 

d) existe? ?

 

e) Qual o domínio de ?

 

23. 2 2 Seja f ( x,y ) = x + y e seja γ(t) = (t, t, z(t)), t ε , uma curva cuja

imagem está contida no gráfico de f.

 

a) Determine z(t).

 

b) Esboce os gráficos de f e γ.

 

c) Determine a reta tangente a γ no ponto (1, 1, 2). d) Seja T a reta do item c; mostre que T está contida

no plano de equação

 

24. 2 2 Seja f ( x, y ) = x + y e seja γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) uma curva

diferenciável cuja imagem está contida no gráfico de f. Suponha, ainda, γ(0) = (1, 1, 2). Seja T a reta tangente a γ em γ(0). Mostre que T está contida no plano

 

Interprete geometricamente.

 

25. Suponha que z = f(x, y) admita derivadas parciais em (x , y ). 0 0

Considere as curvas cujas imagens estão contidas no gráfico de f:

 

Sejam T e T as retas tangentes a γ e γ , nos pontos γ (y ) e 1 2 1 2 1 0 γ (x ), respectivamente. Mostre que a equação do plano 2 0

determinado pelas retas T e T é 1 2

26.

Seja e seja γ(t) = (t, t, z(t)), t ε ,

 

uma curva cuja imagem está no gráfico de f. Seja T a reta tangente a γ no ponto γ (0). Mostre que T não está contida no plano de equação

 

27. Considere a função z = f(x, y) e seja (x , y ) ε D . Como você 0 0 f

definiria plano tangente ao gráfico de f no ponto (x 0 , y 0 )? Admitindo que f admita derivadas parciais em (x , y ), escreva a 0 0 equação de um plano que você acha que seja um “forte” candidato a plano tangente ao gráfico de f no ponto ((x , y ), 0 0 f(x 0 , y 0 )).

 

28. Dê exemplo de uma função tal que seja contínua em

, mas que f não seja contínua em nenhum ponto de .

 

29. Dizemos que (x , y ) é um ponto crítico ou estacionário de z = 0 0

f(x, y) se e . Determine (caso existam)

os pontos críticos da função dada.

 

a 2 2 ) f ( x, y ) = x + y b 3 ) f ( x, y ) = 2 x + y

 

c) 2 2 f ( x, y ) = x – 2 xy + 3 y + x – y

 

d 3 3 ) f ( x , y ) = x + y – 3x – 3y

 

e 2 2 ) f ( x , y ) = 3 x + 8 xy – 14x – 16y

 

f 4 4 ) f ( x, y ) = x + 4 xy + y

 

30. Seja (x , y ) um ponto de D . Dizemos que (x , y ) é um ponto 0 0 f 0 0

de máximo local de f (respectivamente, ponto de mínimo local) se existe uma bola aberta B de centro (x , y ) tal que, para todo (x, 0 0 y) ε B ∩ D f , f(x, y) ≤ f(x 0 , y 0 ) (respectivamente, f(x, y) ≤ f(x 0 , y )). Prove que se (x , y ) é um ponto interior de D e se f 0 0 0 f admite derivadas parciais em (x 0 , y 0 ), então uma condição necessária para que (x , y ) seja um ponto de máximo local ou 0 0 de mínimo local é que (x 0 , y 0 ) seja ponto crítico de f, isto é, que

 

31. Seja e suponha que , para todo

(x, y) ε . Prove que f é constante.